背景

1905年，阿爾伯特·愛因斯坦假設物理定律對於所有的慣性觀察者來說都是相似的，並且真空中的光速與觀察者的運動無關。這就是著名的狹義相對論。它為所有物理學引入了一個新的維度，並提出了關於空間和時間的新概念。事實上，它是現代物理學基礎的一部分。

十年後，也就是1915年，他成功地將加速度納入了之前的理論，並發表了他的新理論，即廣義相對論。根據這一理論，物質和能量使空間和時間彎曲，因此，在大質量物體附近運動的物體看起來會沿著彎曲的路徑運動。我們稱之為引力效應。

在20世紀70年代早期，霍金證明了如果考慮量子效應，黑洞可以輻射。這是一個重要的發現，因為從經典意義上講，沒有任何東西可以從黑洞中逃脫，即使是光也不行。這表明黑洞有一個明確的溫度。對於經典系統來說，為黑洞定義溫度是不現實的因為任何東西都不可能與黑洞處於熱平衡狀態。

黑洞熱力學定律由此誕生。故事始於雅各布·貝肯斯坦，他推匯出了一個描述黑洞熵的方程。黑洞的熵被定義為墜入黑洞的所有物質的量子資訊量。奇怪的是，這與黑洞的表面積成正比，而不是它的體積。霍金透過計算黑洞輻射時洩露的資訊量證實了這一點。

1995年，特德·雅各布森證明了愛因斯坦理論的場方程可以透過假設熱力學定律是正確的推匯出來。因此，熱力學和引力之間的聯絡非常緊密。

霍金輻射

降維說，黑洞內部的引力奇點是如此強大，以至於所有落入其中的東西都註定要滅亡。1975年，霍金在他的論文《黑洞的粒子創造》中指出，量子效應使黑洞發射出與黑體輻射完全相同的輻射。

量子漲落在黑洞的視界附近產生粒子-反粒子對。這裡我們有三種基本情況。

兩個粒子都落在裡面，兩個粒子都逃到外面，其中一個粒子在黑洞附近跑開併成為一個真實的粒子，而另一個被捕獲。

被黑洞捕獲的粒子必須具有負能量，因為這裡不能違反能量守恆定律，從而導致黑洞失去質量。黑洞繼續失去質量，直到某一點，它失去了所有的質量並完全蒸發，這就是黑洞資訊悖論。帶著正能量的粒子逃逸，對於外部觀察者來說，它看起來就像是黑洞釋放出一種粒子輻射，被稱為霍金輻射或霍金效應。

霍金溫度

在霍金理論發現黑洞可以發射熱輻射之後，我們知道了溫度、熵等熱力學量可以與黑洞聯絡起來。這個溫度被稱為霍金溫度。

黑洞熱力學第零定律指出，一個非旋轉的黑洞在其視界處有一個均勻的表面引力。降維說，這樣一個黑洞處於熱平衡狀態。因此，這個定律將黑洞的溫度與其表面引力聯絡起來。

我們可以透過不同的方法來獲得霍金溫度，如表面重力法、量子隧穿法和熱力學第一定律。黑洞輻射的普遍溫度根據下面的公式得出：

公式1：霍金溫度公式

其中，κ是黑洞的表面引力，c是光速，k是波爾茲曼常數。

量子隧穿

量子隧穿是我們日常生活中經典物理學和量子力學領域之間最特殊的區別之一。對於亞原子粒子，比如電子，當我們說它們能穿過勢壘時，我們指的不是物理障礙，而是能量勢壘。

電子等亞原子粒子的隧穿是可能的，這是由於與之相對應的波的性質。量子理論將波的性質賦予每一個粒子，它們的相關波函式在整個空間中都有定義，因此波穿過障礙物的機率總是不為零，就像聲波穿過牆壁一樣。它基本上是波粒二象性的結果，並經常被海森堡的不確定原理闡明。

隧穿效應在許多物理現象中都有應用，如熱核聚變（為太陽提供能量）、隧穿二極體和量子計算等。

黑洞隧穿

推導霍金輻射有不同的方法，主要依靠彎曲時空中的量子場論。例如，可以透過入射和射出輻射的初態和末態之間的波戈裡烏波夫變換等方法來研究這些。最近出現了研究霍金輻射譜和霍金溫度的黑洞隧穿法，這是一個非常有趣的方法。

黑洞的輻射譜包含了所有自旋為0的粒子，自旋為1的向量粒子或玻色子，以及自旋為1/2的費米子或狄拉克粒子。

在量子場論中，我們說普通空間充滿了所有已知亞原子粒子的場，所以它把粒子當作它們潛在場的激發態。因此，對於標量粒子，我們有克萊恩—戈登場；對於向量粒子，有麥克斯韋場；對於費米子，有狄拉克場。

哈密頓雅可比方法

這種方法的物理思想是粒子的成對產生就發生在黑洞的視界內，其中一個粒子對應入射模式，另一個對應輸出模式。輸出模可以沿著經典的路徑從視界到達無窮遠處，隧穿振幅可用該作用的虛部來測量。然而，經典的粒子可以落在視界之外，所以進入模式的動作必須是真實的。

該方法的實質是計算時空中運動的虛部。我們使用Wentzel, Kramers和Brillouin （WKB）近似的場方程的相應粒子。這裡，為了簡單起見，我們考慮標量粒子的發射，它需要克萊因戈登方程，給定為：

方程2：彎曲時空中的萊因戈登方程

其中，m是粒子的質量，Ψ是基礎場。

我們考慮以下形式的一般度量：

方程3：一個簡單的不帶電的、非旋轉的時空

該微分方程不能直接求解，因此我們採用形式的WKB近似來假定解

方程4

這裡：

其中S是經典動作。透過在萊因戈登方程中使用方程4來確定h的前導順序，因為在這裡我們忽略了粒子的引力效應，因此發現該作用滿足了相對論的哈密頓雅可比方程。

方程5：相對論哈密頓雅可比方程

將度規分量代入我們得到的上述方程

公式6：度量的哈密頓雅可比方程

然後我們應用變數分離，保持黑洞的時空對稱性。

Eq.(7)分離變數

其中E為發射粒子的能量，W（r）為貢獻隧道振幅的徑向部分，C可以為復常數。

求解徑向部分

方程8：動作的徑向部分

這裡(+)號對應於外出模式，而(-)號對應於進入模式。現在，在泰勒級數中展開函式F(r)和G(r)我們得到：

公式9：泰勒展開

由於在事件視界上有一個簡單極點，用泰勒展開法代入上述方程，用復積分法求解所給方程，得到了動作的虛部。

方程10：虛部隧穿機率

現在，粒子穿過視界的機率從外面到裡面，反之亦然

方程11：隧穿機率

透過進一步的假設來保證機率的歸一化，我們得到了粒子出去的隧穿機率。

方程12：對於外出粒子

利用上述方程中動作的虛部，我們得到：

方程13：隧穿機率的最終形式

這是從視界出發的標量粒子所需要的隧穿機率。透過量綱分析，等效於輻射的玻爾茲曼因子，可以計算出相應的霍金溫度。

式14：霍金溫度

該方法的穩健性體現在向量粒子和標量粒子發射的霍金溫度是相同的。這是一個重要的結果，因為它保證了向量粒子將在與標量粒子相同的溫度下從視界輻射出來。