歐幾里得124、證明“存在不能表示為兩個整數之比的數”，遞、歸、遞迴

2017年3月30日，網友發表名為《如何證明存在一種不能表示為兩個整數之比的數？》的文章。

文章內容：

…

有人覺得奇怪了：既然當時沒有代數，古希臘人是怎麼提出“所有數都可以表示為整數之比”的呢？

…代、數、代數：見《歐幾里得36》…

…比：見《歐幾里得27》…

其實古希臘人根本沒有提出什麼整數之比，這是後人的一個誤解。當時畢達哥拉斯學派提出的，叫做“公度單位”。

…公、度、公度：見《歐幾里得24》…

…單、位、單位：見《歐幾里得116》…

兩條線段的公度單位，簡單的說就是找一個公度量，使得兩條線段的長度都是這個公度量的整倍數（於是這個公度量就可以同時作為兩條線段的單位長度並用於測量）。

…量：見《歐幾里得27》…

尋找公度量的方法相當直觀，就是不斷把較長的那個線段減去短的那個線段，直到兩個線段一樣長。

熟悉數論的同學一下就明白了：這就是歐幾里得的輾（zhǎn）轉相除演算法求最大公約數。

…數、論、數論，輾、轉、輾轉，算、法、演算法，輾轉相除演算法：見《歐幾里得119~123》…

第一次數學危機的根結就在於，古希臘人理所當然地相信不斷地擷取線段，總有一個時候會截到兩個線段一樣長。後來，Hippasus（通常譯為希帕索斯）畫了這麼一張圖，告訴大家了一個反例：有可能這個操作會無窮盡地進行下去。

…第一次數學危機：見《歐幾里得15》…

…希帕索斯：見《歐幾里得17》…

現在看他怎麼解釋“在圖中的BC和BD之間進行輾轉相除為什麼永遠不能停止”：把BD減去BC，剩下一段DE。以DE為邊做一個新的小正方形DEFG，那麼顯然DE=EF=FC（∵△EDF為等腰直角且△BEF≌△BCF）。

接下來我們應該在BC和DE間輾轉相除。

BC就等於CD，CD減去一個DE相當於減去一個FC，就只剩下一段DF了。

現在輪到DE和DF之間輾轉相除，而它們是一個新的正方形的邊和對角線，其比例正好與最初的BC和BD相當。

…比、例、比例：見《歐幾里得29》…

於是，這個操作再次回到原問題，並且無限遞迴下去。

…遞：繁體漢字見上圖。

形聲。從辵（chuò），虒（sī）聲。本義：輪流；交替。

字義：1.傳送；傳遞：～送。投～。請把鉗（qián）子～給我。

2.順次：～增。～減…

[…形聲：一種造字法…是說字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關，聲旁和全字的讀音有關。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…]

…歸：見《歐幾里得38》…

…遞迴：一種計算過程。如果其中每一步都要用到前一步或前幾步的結果，稱為遞迴。

程式呼叫自身的程式設計技巧稱為遞迴（ recursion）。遞迴做為一種演算法在程式設計語言中廣泛應用。一個過程或函式在其定義或說明中、有“呼叫自身”這種方法，它通常把一個大型複雜的問題層層轉化為一個與原問題相似的規模較小的問題來求解。遞迴策略只需少量的程式就可描述出解題過程所需要的多次重複計算，大大地減少了程式的程式碼量。遞迴的能力在於用有限的語句來定義物件的無限集合…

“一說起遞迴，我想每個人都不陌生。”中學生說。

“舉個從小就聽過的例子：從前有座山，山裡有座廟，廟裡有個和尚，和尚在講故事，從前有座山，山裡有座廟，廟裡有個和尚，和尚在講故事，從前有座山…”中學生接著說。

…

最後的結論用我們的話說就是，不存在一個數x使得BC和BD的長度都是x的整倍數。於是，BD/BC不能表示為兩個整數之比p/q（否則BD/p=BC/q=x，於是就有了x，這與幾何證明得到的結論矛盾）。

“春秋戰國以後，“一”字又可寫作“弌”（圖9）或“弌”（圖10），累增“弋”或“戈”旁，是一種繁化寫法。後世這種繁化寫法均被廢棄。

請看下集《歐幾里得125、格、嚴格，不、失、不失，一、般、一般，繁化寫法被廢棄》”

若不知曉歷史，便看不清未來