感測器的標定

在工控行業，我們會使用檢測各種物理量的不同感測器；

這些感測器也有不同的輸出介面，有些是0-10V/5V電壓，4-20mA電流的模擬量輸出；

有些是透過RS485匯流排的MODBUS協議的數字量輸出；

有些感測器透過數字量輸出的資料就已經是真實物理量的數值，與其對接的控制器讀到之後可直接當作物理量使用；

而感測器輸出的模組量，由與其對接的控制器透過A/D轉換成數字量之後，還需要進於由A/D轉換數傳換算成真實物理量數值，這一從測量傳轉換為真實值的過程我們稱之為標定。

假設A/D值為x，真實值為y，存在函式關係式y=f(x)；

標定就是根據A/D和從標準測量儀器讀到的數值找到該函式關係式；

如果該函式關係式為一次函式，即真實值y=k*x+b(k為斜率、b為截距)，

則稱模擬量或者對應的A/D值與真實值呈線性關係，如果我們在二維座標上繪製函式關係圖，可以看到x-y的曲線是一條直線；

否則，稱模擬量或者對應的A/D值與真實值呈非線性關係；

為了簡化標定步驟，我們希望感測器在整個量程內都是呈線性關係；

這樣，轉換得到的A/D值透過一組k、b數值，按照k*A/D值+b就可以得到物理量的測量值，而且該測量與物理量的真實值相比，精度能達到標稱的要求；

但是往往可能在某一些數值範圍內，轉換得到的測量值與真實值存在較大的偏差；

線性度的衡量

為了衡量感測器的輸出是否線性，我們需要引入一些數學公式；

需要使用最小二乘法、方差、協方差、相關係數等數學公式進行評估；

假設y與x是線性的關係，則y可以和x表示為y=a*x+b。

對於物理量的標定，x為感測器輸出的模擬量數值，y為標準儀器測得的真實值。

對於每一組的xi,yi，則都可以求出經過標定之後的測量值與真實值之間的誤差為：

ei=a*xi+b-yi，

而最準確的a,b取值對應的所有測量值的誤差的平方和最小。

記有N組測量， ，

為了使e最小，需要有e以a,b為自變數的梯度為0，即：

梯度為0

求得：

a,b求值公式

上式即為最小二乘法公式；

式中x的平均值,y的平均值，x、y的方差分別為：

方差

x,y的協方差為：

協方差

定義相關係數：

相關係數

將上述定義代入到min(e)，得到：。

從上面推導的公式可以看出來,

當r=0時,min(e)最大,可以說y完全不能用a*x+b表示,所以說完全不相關,

當r^2=1時,min(e)為零,可以說y完全可以用a*x+b表示,所以說完全相關.

當r<0時,a<0,所以就叫負相關.

當r>0時,a>0,所以就叫正相關.

可以相關係數不僅與a有關,而且與b也有關係。

一個示例

某感測器得到的測量值和真實值

採用最小二乘法公式，算出a=1.164, b=-0.05197；

相關係數r為0.99986，與1相差４個數量級，是一個線性度非常好的感測器；

另外，透過excel的函式slope,intercept可以採用最小二乘法算出a,b；

透過函式correl可以算出相關係數；