盧寶鵬 柯 堅 楊志軍 史凌波 羅傑贏西南交通大學機械工程學院 成都 610030
摘 要：受電臂是挖掘機電動化中重要的結構，利用受電臂結構的外形尺寸作為最佳化設計變數，將強度以及剛度作為約束條件，提出一種將自適應粒子群演算法應用於工程機械的數學建模方法，利用Matlab 程式語言實現了自適應粒子群演算法，並透過該演算法對建立的數學模型進行迭代計算，得出最優的結構尺寸引數，再利用Ansys Workbench對改進前後的結構進行了有限元模擬與模態分析。透過最佳化，受電臂結構在保證強度與剛度的前提下，其總質量減輕了18.398%。當外界激振頻率不高於400 Hz 時，最佳化後結構減輕的質量幾乎不影響其動態效能。改進後的結構危險截面豎直方向上應力有所減小，水平方向上的應力有所增加，最大增幅2.893 MPa，但增加後仍在安全許用範圍內。
關鍵詞：電動挖掘機；受電臂；模態分析；輕量化；設計
中圖分類號： TH122：U415.51+1 文獻標識碼：A 文章編號：1001-0785（2020）01-0077-07
迭代求解，實現了吊杆索力和剛度的精確識別。在此，首先介紹了自適應粒子群演算法的原理，並將該原理引入到工程機械的結構最佳化設計中，以結構的總質量為目標函式，在強度、剛度的約束條件下建立了受電臂結構的數學模型，利用Matlab 程式語言實現了APSO 演算法，透過APSO 演算法對數學模型進行了計算求解，最後透過Ansys 軟體進行模型的有限元與模態分析，對比最佳化前後的質量和應力等情況。
圖1 移動供電式電動挖掘機
1 自適應粒子群演算法粒子群最佳化演算法[8]（PSO）是基於鳥群覓食行為而提出的一種進化演算法。具有易實現、收斂速度快、引數設定少等優點。自適應粒子群最佳化演算法[9]（APSO）是在標準粒子群演算法基礎上引入隨機慣性權重與懲罰函式，透過懲罰函式來規避遇到的錯誤解，以達到快速的收斂性。
粒子群演算法的基本原理是根據要解決的實際問題構造一個d 維搜尋空間，空間中的每個粒子都有相對應的位置與速度，記第i 個粒子的位置為Xi ＝ (xi1，xi2，…，xid)T，速度為Vi ＝ (vi1，vi2，…，vid)T，透過計算適應度函式來得出粒子的最優解。第i 個粒子最優位置叫做個體極值，記作Pbest ＝ (pi1，pi2，…，pid)T。整個粒子群搜尋到的最優位置叫做全域性極值，將其記作Gbest＝ (pg1，pg2，…，pgd)T。粒子群演算法的核心是搜尋空間中粒子的位置與速度的更新，可表示為[10]
式中：c1、c2 為學習因子，r1，r2 為0 ～ 1 均勻分佈的隨機數，ω 為慣性權重係數，pij 為個體極值，pgj 為全域性極值，ωvij(t) 為粒子當前的速度，c1r1[pij - xij(t)] 為粒子會受自身的認知模式的影響，c2r2[pgj - xij(t)] 反映了群體資訊的影響。
粒子群演算法在解決最佳化問題時，首先初始化一組隨機粒子，即賦予粒子隨機位移與隨機速度, 然後進行迭代計算，在最大速度Vmax ＝ (vmax1，vmax1，…，vmaxd)T 以及搜尋邊界的限制下，透過pi 和pg 的引導，依據粒子更新公式進行下一次飛行搜尋，直到找到適應度函式的最優解。
2 受電臂的輕量化設計受電臂結構由安裝底架、支架、旋轉支撐、轉杆等部分組成。受電臂結構輕量化設計的關鍵是轉杆部分，轉杆所受拉力與電源車端拉力有關。挖掘機在實際工作中距離電源車一般在25 m 以內，故選用25 m 時的最大拉力作為受電臂的載荷。透過實際測量得出最大拉力為850 kg，為使強度分析中留有安全裕度，選定拉力T ＝1 000 kg 進行設計計算。
2.1 目標函式輕量化設計的目標是保證足夠強度和剛度滿足要求的條件下，質量最輕，成本最低。以受電臂轉杆結構的質量作為目標函式，密度用ρ 表示，則有目標函式式
式中：Vj 為轉杆的第j 塊鋼板體積，n 為組成轉杆的鋼板數量。
2.2 設計變數為實現目標函式的計算，將轉杆的整體尺寸作為設計變數，記作X ＝ (x1，x2，…，xd)T。各個變量表示如圖2 所示。引入變數後，結構的面積可表示為
式中：Aup 為轉杆上幅板表面積，x7Asi 為側板表面積。結構的體積可表示為
式中：Vc 為軸套處體積，Vup 為上幅板體積，Vsi 為側板體積。由式（4）可得
式中：V 為轉杆總體積。
由式（2）和式（5）可得目標函式為
圖2 設計變數與尺寸的關係
2.3 約束條件APSO 演算法在迭代計算過程中需要定義變數的邊界與約束條件，各變數的邊界條件按照底架、挖掘機機架的安裝條件來確定，其取值範圍為Xmax ＝ (160，100，80，400，130，50，10，1 800，110，1 400，190，190)T，Xmin ＝ (120，80，50，300，100，30，8，1 770，80，1250，150，150)T。
約束條件的新增需要使強度與剛度滿足材料的許用條件。強度校核通常以正應力σ ＜ [σ]，剪應力τ ＜ [τ]來保證結構的強度要求。以撓度yc 與轉角θc 的( yc /l )＜ [w] 和θc ＜ [θ] 來保證結構的剛度。最大彎矩所在截面為危險截面，該截面正應力與剪應力條件為[11]
式中：σ 為截面正應力，A 為截面面積，M 為危險截面處的彎矩，ymax 為截面上點與中性軸的最大距離，IZ 為截面慣性矩，τ 為截面處剪應力，FS 為剪力，[σ]、[τ]分別為許用正應力與許用剪應力。
以剛度條件進行約束時，撓度與轉角如式⑻所示。
則剛度條件為
式中：q 為均布載荷，F 為所受的集中力，E 為彈性模量，l 為轉杆長度，[ w/l ] 為跨長之比。挖掘機在工作時按照轉杆實際受力情況，分別從水平方向與垂直方向來分析。
1） 垂直方向圖3a 為轉杆的受力簡化模型，圖3b 為截面1 的形狀尺寸，圖3c 為截面2 處形狀與尺寸。轉杆材料為Q235 鋼，其彈性模量為E ＝ 200 GPa，所受拉力T ＝10 000 N，且與水平面夾角θ ＝ 15°，[σ] ＝ 215 MPa，[τ]＝ 125 MPa，[ w/l ] ＝ 1/500。將設計變數X 代入式⑺以及式⑻中可得到式⑼。綜合式⑺～式⑼有截面1 的約束條件式⑽，截面2 處的約束條件式⑾。
圖3 截面1 處變數與尺寸的關係
2） 水平方向挖掘機在水平方向旋轉時轉杆可分為兩種工況。其中，工況一為旋轉極限狀態，如圖4 所示，轉杆支座上的限位擋板與轉杆完全接觸，轉杆與電纜在水平方向上呈直角狀態，透過受力分析可得出A、B 點的支座反力FA、FB，FB 的方向與豎直方向呈β 夾角且有
根據受力情況，支座反力的表示式為
帶入設計變數後, 截面1 處各變量表達式為
將式⒀代入式⑺，則有強度條件式為
式中：Tcosθ 為電源車端拉力的水平分力，MH1 為水平方向工況一的截面1 處彎矩，FH1 為水平方向工況一的截面1 處剪力，AH 為該截面面積，IH 截面慣性矩，yH 為截面上點與中性軸的最大距離, σH1、τH1 分別為正應力與剪應力。
圖4 水平狀態下工況一的受力情況
工況二是在挖掘機突然旋轉時，支座限位擋板對轉杆存在瞬間的衝擊載荷，在限位擋板與轉杆接觸瞬間受力，如圖5 所示。
圖5水平狀態下工況二的受力情況
衝擊載荷的計算[12] 根據能量守恆定律，衝擊的動能Ek 會轉化為杆件彈性應變能Vε，即
式中：
表示靜位移，Fd 為衝擊載荷，v 為
衝擊速度，即挖掘機迴轉速度，M(x) 表示彎矩方程，E彈性模量，I 為截面慣性矩，L 為轉杆長度。
挖掘機的迴轉速度為11rpm，即n ＝ 0.183 r/s，則ω ＝ 2πn，v ＝ ωr，r ＝ 345.2 mm，以原始尺寸為依據，則有LH ＝ 1 701 mm，v ＝ 2.5 m/s，透過式⒄計算得出Fd ＝ 5 258.84 N。
將式⒅代入式⑺中，則有強度條件式為
3 APSO 求解根據以上分析得出的目標函式與各種情況以及工況下約束條件的綜合表示式為
設定粒子群演算法的最大迭代次數為100 次，種群規模設為m ＝ 50，c1 ＝ c2 ＝ 2，隨機性衰減因子為0.2，收斂速度為0.5，ωmax ＝ 0.95。並進行多次求解計算，適應度曲線如圖6 示。
圖6 APSO 計算適應度曲線
1）設計變數前後對比表1 為設計變數最佳化前後的取值，最佳化前為結構初始實際尺寸，最佳化後透過APSO 演算法求解出最優解。
2）Ansys 模擬結果利用最佳化後的尺寸重新建模，匯入到Ansys 中進行模態分析。模態分析是確定機械結構固有頻率和振型等動態特性的有效方法[13，14]。表2 是轉杆結構最佳化前後10 階固有頻率。圖7 為最佳化前後第1、6 階的模態振型圖。其中圖7a 和圖7b 分別為最佳化前後的第1 階振型圖，最佳化前最大變形量為8.466 mm，輕量化設計後最大變形量為9.57 mm，變形量略有增大；圖7c 和圖7d 為最佳化前後第6 階振型圖，最大變形量比最佳化前減小2.597 7mm，表明結構在發生該階次的共振時產生的變形量減小，其他階次的固有頻率在最佳化前後對比如圖8 所示。
圖7 最佳化前後模態振型圖
由圖8 可以看出，前6 階固有頻率在最佳化前後變化較小，相差在10.71% 以內，從第6 階開始，輕量化後的模型固有頻率較最佳化前增幅變大，當外界激振頻率不超過400 Hz 時，輕量化對結構固有頻率產生的影響很小，而輕量化前後轉杆的總質量從80.44kg 減小到65.64kg，相比減小18.398%。
圖8 最佳化先後固有頻率
圖9 為轉杆輕量化設計前後的等效應力分佈雲圖，其最大等效應力集中在轉筒與上幅板的焊接處，最佳化後的結構應力最大為113.29 MPa，相比輕量化前雖增大了10.39 MPa，但其增大後在安全許用範圍內。
圖9 最佳化前後結構的等效應力分佈
3）危險截面處的應力情況在Ansys 後處理中，將圖3 中截面1 處的3 個方向上的應力提取出來後如圖10 所示。
圖10 最佳化前後截面應力
圖10a 為初始結構截面X 方向上的拉應力與壓應力分佈，其正值代表拉應力，負數表示壓應力數值，最大拉、壓應力分別集中在截面的左下與右上幅板處，這是因為轉杆受到水平衝擊力與電源車拉力的綜合力而導致一側受拉，另一側受壓。圖10b 和圖10c 分別為Y、Z 方向上的應力分佈圖，Z 方向上最大拉應力9.105MPa，最大壓應力9.281 MPa。圖10d、圖10e、圖10f分別為輕量化設計後截面3 個方向上的應力分佈圖，其X 方向上最大拉應力相比最佳化前減小了2.58%，壓應力增大了1.669%，Y 方向拉壓應力都有所增大，其最大增幅為35.76%。Z 方向上最大拉應力2.238 3 MPa，最大壓應力1.841 5 MPa，相比最佳化前分別減小75.42%、80.158%。具體變化如圖11 所示。
圖11 截面三個方向應力變化情況
由圖11 可以看出，輕量化前後3 個方向上的拉、壓應力有增有減，因為在輕量化設計過程中，其截面的相關尺寸發生了一定的變化，例如x1 的尺寸增大，使截面1 處Z 方向上的應力減小而Y 方向上的應力增大。最佳化後應力增幅最大的是Y 方向的拉應力，其增大35.76%，其增加後應力值為10.982 MPa，遠小於安全許用應力。在Z 方向即豎直方向上拉、壓應力都大幅降低。故在質量減輕18.398% 的前提下，對於8.089 MPa基礎上35.76% 的應力增幅是可以接受的。
4 結論1）結合粒子群演算法和有限元分析是一種重要的結構最佳化方法，本文主要針對電動液壓挖掘機的受電臂結構提出了一種基於自適應粒子群演算法在工程機械中對結構的數學建模方法，並利用該演算法對模型進行輕量化設計，在強度以及剛度的約束下，透過對設計變數以及目標函式的求解，得出改進結構的形狀以及尺寸。
2）當外界激振頻率不高於400 Hz 時，與初始結構相比，最佳化後的結構其質量的減輕幾乎不影響結構的動態效能。而當外界激振頻率超過400 Hz 時，最佳化後模型質量的減輕對動態效能會產生一定程度的影響。
3）與原始結構相比，輕量化設計後的結構最大等效應力增加了10.39 MPa，其增加後為113.29 MPa，危險截面X 方向拉應力減小了2.58%，壓應力增大1.669%，Z 方向的拉、壓應力分別減小了73.83%，67.3%，Y方向上拉、壓應力都有所增大，但增大後仍在安全許用範圍內。最佳化前後結構的總質量從80.44kg 減小到65.64kg，相對減小了18.398%。因此，基於APSO 演算法的輕量化設計可以為以後電動液壓挖掘機受電臂結構的最佳化設計提供一定的參考依據。