編譯：Hippo

一個好的猜想對數學家來說就像是一種電磁力。好的數學猜想可以以極其精確和簡潔的方式陳述了極其深刻的事物、精彩地證明或反推其真理。

但是提出一個好的猜想是異常困難的。它必須足夠深刻，以引起好奇和探究，但又不能模糊不清，以至於一開始根本無從窺見其真容。

數學上許多最著名的問題都是猜想，而不是解決方案，例如“費馬大定理”（由17世紀法國數學家皮耶·德·費馬提出，歷經三百多年，最終在1995年由英國數學家安德魯·懷爾斯宣佈將其證明）。

現在，來自以色列理工學院和谷歌特拉維夫辦公室的一組研究人員提出了一個自動猜想系統，稱為Ramanujan機器，以數學家Srinivasa Ramanujan的名字命名，Srinivasa Ramanujan在幾乎沒有經過正式培訓的情況下開發了數以千計的數論創新公式。該軟體系統已經“猜想”出了數學中的一些通用常數的原始和重要公式。其成果於上週在《自然》雜誌上發表。

連結：

https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

由這套系統建立的公式之一可以計算卡塔蘭常數（ Catalan’s number），它比以前任何人類發現的公式都更為有效。但是，Ramanujan機器被認為不會取代數學，而只是為現有的數學家提供一種參考。

正如研究人員在論文中所解釋的，整個數學學科可以分解為兩個過程，粗略地說包括事物猜想和事物證明。有了更多的猜想，數學思維的精髓就會增加，數學家也就有了更多證明和解釋的原料。

這並不是說他們的系統是明確的。正如研究人員所說，Ramanujan機器“正在試圖取代偉大數學家的數學直覺，併為進一步的數學研究提供線索。”

研究人員的系統並不是所謂的通用數學機器。相反，它推測如何計算稱為通用常數的值的公式。最著名的例子是pi，它給出了圓的周長與直徑之間的比率。Pi之所以可以稱為通用的，是因為它貫穿整個數學，而之所以恆定，是因為無論圓大小如何，它的值都相同。

特別是，研究人員的系統對通用常數（如pi）的值進行推測，這些推測用稱為連分數（continued fractions）的優雅公式來表示。連分數本質上是分數，但看上去讓人眼花繚亂。連分數中的分母包括兩項之和，其中第二項本身也是分數，其分母本身包含又一個分數，依此類推，直至無窮大。

連分數很早就以其的獨特的組合推動數學家前進，分數的總值通常等於重要常數，樸素而又深刻。正如羅格斯大學的Robert Doughtery-Bliss和Doron Zeilberger在2020年的預印本中所寫的那樣，除了在美學上“內在地迷人”之外，它們還有助於確定常數的基本屬性。

連結：

https://arxiv.org/abs/2004.00090

Ramanujan機器是基於兩種主要演算法構建的。這些連續的分數具有很高的置信度，能夠等於通用常數。這種高置信度是很重要的，否則，這些猜想將很容易被拋棄並且幾乎沒有價值。

每個猜想都採用方程式的形式。思路是等號左邊的量（一個包含通用常數的公式）應等於右邊的連分數的值。

為了得出這些猜想，該演算法在式左側選用任意通用常數，右側選用任意連分數，然後以一定的精度分別計算。如果兩側相等，則以更高的精度再次計算以確保它們的相等不是巧合。至關重要的是，以任意精度計算pi等通用常數的值的公式是已有的，因此驗證匹配的唯一障礙是計算時間。

在這種演算法被提出之前，數學家需要利用現有的數學知識和定理做出猜想，但藉助自動猜想演算法，數學家也許可以使用它們來逆向推理工程上隱藏的定理，或是得出更加優雅的成果，就像Doughtery-Bliss和Zeilberger所展示的那樣。

但是到目前為止，研究人員最大的發現不是隱藏的知識，而是一個令人驚訝的重要新猜想。也就是卡塔蘭常數，這是一個專門的通用常數，應用在許多數學問題中。

新發現的連分數表示式可以對卡塔蘭常數進行迄今為止最快的計算，超過了以前的公式在計算機上的計算效率。這標誌著的一個新的進步，或許可以比擬計算機第一次擊敗國際象棋大師，不過這一次是在“猜謎”遊戲中。

https://www.vice.com/en/article/xgzkek/machines-are-inventing-new-math-weve-never-seen