用Qiskit計算聯合機率

這篇文章是這本書的一部分：動手使用Python進行量子機器學習。

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大多數有關量子計算的教程，帖子和書籍都裝有數學。很多數學。當然，數學是基礎概念的重要方面。但是，當我說您不需要成為數學家來掌握量子計算時，就是我的意思。

在本文中，我們將從程式設計師的角度看待量子計算，並以實用的方式使用量子位。我們撇開所有理論和數學。好的，我們仍然需要一些數學來計算機率。就是這樣。

唯一要了解的是不同型別的機率。

· 邊際機率是事件的絕對機率

· 聯合機率是兩個事件同時發生的機率

· 條件機率是在已知另一事件發生的情況下一個事件的機率

在這篇文章中，我們使用量子電路計算聯合機率。

啟動Jupyter Notebook，然後匯入Qiskit。如果您尚未設定計算機，請參閱以下教程，瞭解如何設定JupyterLab用於量子計算。

在本文中，我們將建立並執行很多電路。因此，這是一個幫助程式函式，該函式將獲取已配置的QuantumCircuit例項，然後執行它並返回直方圖。

我們指定直方圖（第13行）的相當寬的圖形大小（figsize =（18,4）），以便在其中留出一些空間來顯示所有不同的狀態。此外，雖然我們使用預設的statevector_simulator（第5行），但我們還允許指定另一個模擬器作為我們的後端（第7行）。我們還將鏡頭數量（模擬器應該執行電路多少次才能獲得精確的結果）作為引數（第5行）。

在開始計算機率之前，讓我們看一下Qiskit為我們建立的直方圖的結構。在下面的示例中，我們建立具有四個量子位的QuantumCircuit（第1行）。在執行電路（第3行）之前，我們將Hadamard門應用到每個量子位（透過提供量子位位置的列表）（第2行）。

下圖描述了生成的直方圖

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直方圖中的每一列代表一個狀態。狀態是量子位值的組合。在我們的例子中，一個狀態由四個量子位組成。我們可以用0或1來測量每個量子位元。條形圖和條形圖上方的數字表示此狀態的測量機率。

在我們的例子中，有16個狀態，它們的機率分別為0.062和1/16。

條形下方的數字表示給定狀態下四個qubit的值。從頂部（位置0的位）到底部（位置3的位）讀取它們。如果順時針旋轉數字以更好地讀取它們，則需要從右側（qubit 0）到左側（qubit 3）讀取它們。

此外，狀態是有序的。好像四個量子位組成一個二進位制數字一樣，量子位0是右側的低位，而量子位3是左側的高位。結果，所有將量子位元3度量為1的狀態都位於直方圖的右半部分。因此，如果您希望狀態彼此相鄰，請確保它們對於最高qubit的值相同。

為了提高可讀性，我們考慮一個帶有單個Hadamard門的電路。

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Qiskit初始化狀態為|0⟩的量子位（將其測量為0的機會為1.0）。當我們在這種狀態下將Hadamard門應用於一個量子位時，它將1.0的總機率削減為兩個相等的一半。我們得到兩個狀態的量子位元0值不同。每個狀態的機率為0.5。如果二進位制值0001大於0000，則狀態0001位於右側。

代表邊際機率

我們首先讓一個量子位代表一個事件的邊際機率。邊際機率是事件的絕對機率，與任何其他資訊無關。如果事件發生的多個狀態，則邊際機率是所有相應機率的總和。

在具有一個Hadamard門的圖中，只有一種狀態，其中qubit 0為1。邊際機率為0.5。在具有四個Hadamard門的圖中，存在8個量子位0為1的狀態。量子位0的邊際機率為1是所有這些狀態的機率之和。也是0.5。

哈達瑪門將整體機率分成相等的一半。但是事件的機率可以是0.0到1.0之間的任何值。

在本文中，我們介紹了RY門。它需要一個可以用來指定確切機率的引數。由於RY門將角度θ作為其引數而不是機率，因此我們需要先將機率轉換為角度，然後再將其傳遞給門。這就是prob_to_angle函式為我們所做的。

現在，我們可以建立和執行一個具有介於0和1之間的任意邊際機率的電路。讓我們以0.4的測量值1開始。

我們在量子位上應用RY門，並以機率值為0.4（第2行）傳遞呼叫prob_to_angle的結果作為第一個引數。

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與Hadamard門相似，RY門將機率分為兩部分。但這為我們提供了控制兩個部分大小的工具。

計算聯合機率

在下一步中，我們要應用修飾符。在第一種情況下，修飾符的值介於0.0到1.0之間。就像另一種可能性。然後，所得後驗機率等於這兩個機率的聯合機率。

下圖描述了兩個變數的聯合機率。

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在數學上，我們可以透過將兩個邊際機率相乘來計算聯合機率。假設修改器為0.8。我們預計機率為0.4 * 0.8 = 0.32。

讓我們用Qiskit嘗試一下。

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顯然，這行不通。我們甚至還沒有達到目標機率。相反，我們得到了0.952的機率。

問題在於prob_to_angle-function內部的角度θ的計算。我們將角度計算為目標機率平方根的反正弦值。讓我們仔細看看這個功能。下圖描繪了f（x）= arcsin（sqrt（x））的形狀

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首先要注意的是，函式是在0到1之間的間隔中定義的。對於負值，未定義平方根。對於大於1的值，未定義反正弦。

要注意的第二件事是函式的曲線。prob_to_angle-function假定量子位處於基本狀態|0⟩。θ-我們計算的角度-是向量|ψ⟩-是目標狀態-和基本狀態向量|0⟩-我們是從其開始的狀態之間的夾角。如果從另一個狀態開始，則需要將該狀態合併到θ的計算中。我們需要從曲線上的相應點開始。如果您在曲線的最開始處計算步長（存在高梯度），並且在曲線的中間計算步長，則會有所不同。如果您想進一步瞭解qubit狀態的圖形表示，請看一下這篇文章。

但是，如果我們將曲線上的當前點（代表一個事件）納入計算，我們將在量子電路之外對聯合機率進行整個計算。這不是我們的目標。

讓我們再試一次。如果prob_to_angle-function假定量子位處於基本狀態|0⟩，為什麼不對新的量子位應用修飾符？區別在於第11行，在第11行中，我們在qubit 1而不是qubit 0上應用了圍繞修飾符的旋轉。

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我們看到狀態0011（量子位0為1，量子位1為1）表示正確的機率為0.32。基本原理很簡單。

量子位0為1的所有狀態（0001和0011）加起來0.4-事件A的邊際機率。量子位1為1（0010和0011）的狀態加起來0.8-事件B的邊際機率。由於兩個旋轉彼此獨立，因此狀態0011表示兩個機率的重疊，其中0.4 * 0.8 = 0.32。

為了完成，其他狀態的機率為：

· 狀態0000：（1.0-0.4）（1.0-0.8）= 0.6 0.2 = 0.12

· 狀態0001：0.4 （1.0–0.8）= 0.4 0.2 = 0.08

· 狀態0010：（1.0–0.4）* 0.8 = 0.6 * 0.8 = 0.48

為了獲得聯合機率，我們需要測量兩個量子位元並計算兩個量子位元均為1的部分。

我們只關注一種可能性。如果只用一個量子位元代表它，那會很好嗎？

這是糾纏派上用場的地方。您還記得CNOT門嗎？這是一個兩位元的門。第一個量子位是控制量子位。如果為1，則門將在第二個量子位上應用X門（NOT門）。如果控制量子位為0，則第二個量子位保持不變。

首先看一下程式碼。

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結果顯示，將量子位1測量為1的機率為0.32。我們只需測量單個量子位即可獲得我們正在尋找的聯合機率。

但是它是如何工作的呢？

和以前一樣，我們應用事件A的邊際機率（第8行）。接下來，我們應用事件B的邊際機率的一半。下圖描述瞭如果我們在此處停止的狀態。

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由此產生的機率相當混亂。但是我們可以看到，我們將量子位0為0的狀態分為兩部分：狀態0000和0010。對於量子位0為1的狀態，我們做了相同的處理。

接下來，我們應用CNOT門（第14行）。讓我們看看它的作用。

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CNOT門不會更改機率值。但是它會切換具有這些機率的狀態。

狀態0000和0010保持其機率，因為如果控制量子位（此處為量子位0）為0，則CNOT門不執行任何操作。相比之下，狀態0001和0011切換其機率。就像我們說的那樣。如果控制量子位為1，則CNOT門的作用類似於受控量子位（此處為量子位1）上的X門。

本質上，我們所做的就是說P（A）和P（B）/ 2重疊的狀態應與P（A）與1-P（B）/ 2重疊的狀態切換其機率。

現在，我們應用修飾符的後半部分，但帶有減號（第17行）。這就是效果。

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出現聯合機率的正確值。由於我們應用了P（B）的負半數，因此當qubit 0為0時，我們消除了對RY門第一次應用所做的機率分裂。0010的狀態消失。現在它又是狀態0000的一部分。

對於量子位0為1的狀態，我們將P（B）的一半從狀態0011移回狀態0001。但是請記住，這兩個狀態之前已切換了其機率。這意味著，我們不會新增第一個RYRY門的效果，而是添加了修飾符的後半部分。

在最後一步，我們再次應用CNOT門。對於控制qubit 0為0，這使狀態0000保持不變。但是當qubit 0為1時，它將切換qubit 1的值。因此，狀態0001和0011再次切換其機率。

結果，狀態0011具有0.32的結果聯合機率。由於此狀態是量子位1為1的唯一狀態，因此我們透過測量單個量子位來獲得聯合機率。

電路的這一部分也稱為受控RY門。實際上，Qiskit提供了一個開箱即用的功能。我們來看一下。它具有相同的效果。

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結論

總之，受控的RY門與CNOT門相似。但是，如果控制量子位為1，則在受控量子位上應用RY門，而不是X門。如果控制量子位為0，則什麼也不會發生。

從結果狀態的角度來看，受控RY門將控制量子位為1的狀態分為兩部分。但是，它保留了控制量子位為0的狀態。與將RY門應用於拆分所有狀態的新量子位相比，受控RY門對要使用的狀態提供了良好的控制。因此，僅在重要情況下才轉換受控量子位。

這篇文章是這本書的一部分：動手使用Python進行量子機器學習。