GBDT（Gradient Boosting Decision Tree）是被工業界廣泛使用的機器學習演算法之一，它既可以解決迴歸問題，又可以應用在分類場景中，該演算法由斯坦福統計學教授 Jerome H. Friedman 在 1999 年發表。本文中，我們主要學習 GBDT 的迴歸部分。

在學習 GBDT 之前，你需要對 CART、AdaBoost 決策樹有所瞭解，和 AdaBoost 類似，GBDT 也是一種 Boosting 型別的決策樹，即在演算法產生的眾多樹中，前一棵樹的錯誤決定了後一棵樹的生成。

我們先從最為簡單的例子開始，一起來學習 GBDT 是如何構造的，然後結合理論知識，對演算法的每個細節進行剖析，力求由淺入深的掌握該演算法。

我們的極簡資料集由以下： 3 條資料構成，使用它們來介紹 GBDT 的原理是再好不過了，假設我們用這些資料來構造一個 GBDT 模型，該模型的功能是：透過身高、顏色喜好、性別這 3 個特徵來預測體重，很明顯這是一個迴歸問題。

構造 GBDT 決策樹

GBDT 只有第一棵樹只有 1 個葉子節點，該節點為所有樣本的初始預測值，且該值到所有樣本間的 MSE（Mean Squared Error）是最小的。實際上，初始值就是所有樣本的平均值，即 (88+76+56)/3 = 73.3，原因我們在下文會詳細介紹。

接下來，根據預測值，我們算出每個樣本的殘差（Residual），如第一個樣本的殘差為：88 - 73.3 = 14.7，所有樣本的殘差如下：

接著，我們以殘差為目標值來構建一棵決策樹，構造方式同 CART 決策樹，這裡你可能會問到為什麼要預測殘差？原因我們馬上就會知道，產生的數如下：

因為我們只有 3 個樣本，且為了保留演算法的細節，這裡只用了 2 個葉子節點，但實際工作中，GBDT 的葉子節點通常在 8-32 個之間。

然後我們要處理有多個預測值的葉子節點，取它們的平均值作為該節點的輸出，如下：

上面這棵樹便是第 2 棵樹，聰明的你一定發現了，第 2 棵樹實際上是第 1 棵樹和樣本之間的誤差，我們拿第 3 個樣本作為例子，第一棵樹對該樣本的預測值為 73.3，此時它和目標值 56 之間的誤差為 -17.3，把該樣本輸入到第 2 棵樹，由於她的身高值為 1.5，小於 1.55，她將被預測為 -17.3。

既然後一棵樹的輸出是前一棵樹的誤差，那隻要把所有的樹都加起來，是不是就可以對前面樹的錯誤做出補償，從而達到逼近真實值的目的呢。這就是我們為什麼以殘差建樹的原因。

當然樹之間不會直接相加，而是在求和之前，乘上一個學習率，如 0.1，這樣我們每次都可以在正確的方向上，把誤差縮小一點點。Jerome Friedman 也說過這麼做有助於提升模型的泛化能力（low variance）。

整個過程有點像梯度下降，這應該也是 GBDT 中 Gradient 的來歷。GBDT 預測過程如下圖所示：

按此方法更新上述 3 個樣本的預測值和殘差，如下：

比較這兩棵樹的殘差：

可見，透過 2 棵樹預測的樣本比只用 1 棵樹更接近目標值。接下來，我們再使用第 2 棵樹的殘差來構建第 3 棵樹，用第 3 棵樹的殘差來構建第 4 棵樹，如此迴圈下去，直到樹的棵數滿足預設條件，或總殘差小於一定閾值為止。以上，就是 GBDT 迴歸樹的原理。

深入 GBDT 演算法細節

GBDT 從名字上給人一種不明覺厲的印象，但從上文可以看出，它的思想還是非常直觀的。對於只想瞭解其原理的同學，至此已經足夠了，想學習更多細節的同學，可以繼續往下閱讀。

初始化模型

該演算法主要分為兩個步驟，第一步為初始化模型：

上式中，$F$ 表示模型，$F_0$ 即模型初始狀態；L 為 Loss Function，n 為訓練樣本的個數，$y_i$ 為樣本 i 的目標值，gamma 為初始化的預測值，意為找一個 gamma，能使所有樣本的 Loss 最小。

前文提過，GBDT 迴歸演算法使用 MSE 作為其 Loss，即：

公式中 $\hat{y_i}$ 表示第 i 個樣本的預測值，我們把例子中的 3 個樣本帶入 $F_0$ 中，得：

要找到一個 gamma，使上式最小，因為上式是一個拋物線，那麼 $d(F_0)/d\gamma=0$ 時，上式有最小值，於是：

上式化簡後，你一眼就可以看出 gamma = (88+76+56)/3 = 73.3，即初始值就是所有樣本的平均值，

模型迭代

演算法的第二個步驟是一個迴圈，虛擬碼如下：

for m = 1 to M:    (A)    (B)    (C)    (D)

其中，m 表示樹的序號，M 為樹的總個數（通常該值設為 100 或更多），(A) (B) (C) (D) 代表每次迴圈中的 4 個子步驟，我們先來看 (A)

(A) 計算

我們把 $F(x_i)$ 換成 $\hat{y_i}$，該式子其實是對 Loss 秋 $\hat{y_i}$ 的偏微分，該偏微分為：

而 $F(x)=F_{m-1}(x)$ 意為使用上一個模型來計算 $\hat{y_i}$，即用 m-1 棵已生成的樹來預測每一個樣本，那麼 $r_{im} = y_i-\hat{y_i}$ 就是上面說的計算殘差這一步。

(B) 使用迴歸決策樹來擬合殘差 $r_{im}$，樹的葉子節點標記為 $R_{jm}$，其中 j 表示第 j 個葉子節點，m 表示第 m 棵樹。該步驟的細節如果不清楚可以檢視 CART 迴歸樹一文。

(C) 對每個葉子節點，計算

上面式子雖然較為複雜，但它和初始化步驟中的式子的目的是一樣的，即在每個葉子節點中，找到一個輸出值 gamma，使得整個葉子節點的 Loss 最小。

$\gamma_{jm}$ 為第 m 棵樹中，第 j 個葉子節點的輸出，$\sum_{x_i \in R_{ij}}L$ 表示在第 j 個葉子節點中所有樣本的 Loss，如下面的樹中，左邊葉子節點上有 1 個樣本，而右邊葉子節點內有 2 個樣本，我們希望根據這些樣本來求得對應葉子的唯一輸出，而 Loss 最小化就是解決之道。

在 Loss 函式中，第 2 個引數 $F_{m-1}(x_i) + \gamma$ 是模型對樣本 i 的預測，再加上 $\gamma$，對於只有 1 個樣本的葉子節點來說，$\gamma$ 就是該樣本殘差，而對於有多個樣本的節點來說，$\gamma$ 為能使 Loss 最小的那個值，下面就這兩種情況分別說明：

以上面這棵樹為例，左邊葉子節點只有 1 個樣本，即樣本 3，將它帶入到公式中：

要求右邊的式子最小，和上面一樣，我們令其導數為 0：

算得 $\gamma_{11} = -17.3$，所以當葉子中只有 1 個樣本時，該葉子的輸出就是其殘差。

再來看下右邊這個節點，其中包含 2 個樣本，同樣把樣本 1 和樣本 2 帶入到公式中，得：

對右邊求導：

上式為 0 時，Loss 最小，即

於是

可見，當葉子中有多個樣本時，該葉子的輸出值就是所有樣本殘差的平均值。

(D) 更新模型，下次迭代中使用 m 棵樹來做預測：

上式中，$\nu$ 表示學習率。之後，訓練將重新來到 (A) 步驟，進入下一棵樹構建的迴圈中。

總結

本文我們一起學習了 GBDT 的迴歸演算法，一開始，透過一個簡單的例子描述了 GBDT 的原理，之後，我們對 GBDT 的每個步驟進行了逐一剖析，希望本文能給你帶來收穫。