橢圓曲線加密演算法，即：Elliptic Curve Cryptography，簡稱ECC，是基於橢圓曲線數學理論實現的一種非對稱加密演算法。相比RSA，ECC優勢是可以使用更短的金鑰，來實現與RSA相當或更高的安全。據研究，160位ECC加密安全性相當於1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相當於2048位RSA加密。

橢圓曲線在密碼學中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分別獨立提出的。

橢圓曲線

一般情況下，橢圓曲線可用下列方程式來表示，其中a,b,c,d為係數。

例如，當a=1,b=0,c=-2,d=4時，所得到的橢圓曲線為:

該橢圓曲線E的影象如圖X-1所示，可以看出根本就不是橢圓形。

定義橢圓曲線的運算規則加法

過曲線上的兩點A、B畫一條直線，找到直線與橢圓曲線的交點，交點關於x軸對稱位置的點，定義為A+B，即為加法。如下圖所示：A + B = C

二倍運算

上述方法無法解釋A + A，即兩點重合的情況。因此在這種情況下，將橢圓曲線在A點的切線，與橢圓曲線的交點，交點關於x軸對稱位置的點，定義為A + A，即2A，即為二倍運算。

正負取反

將A關於x軸對稱位置的點定義為-A，即橢圓曲線的正負取反運算。如下圖所示：

無窮遠點

如果將A與-A相加，過A與-A的直線平行於y軸，可以認為直線與橢圓曲線相交於無窮遠點。

綜上，定義了A+B、2A運算，因此給定橢圓曲線的某一點G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：當給定G點時，已知x，求xG點並不困難。反之，已知xG點，求x則非常困難。此即為橢圓曲線加密演算法背後的數學原理。

有限域上的橢圓曲線運算

橢圓曲線要形成一條光滑的曲線，要求x,y取值均為實數，即實數域上的橢圓曲線。但橢圓曲線加密演算法，並非使用實數域，而是使用有限域。按數論定義，有限域GF(p)指給定某個質數p，由0、1、2......p-1共p個元素組成的整數集合中定義的加減乘除運算。

假設橢圓曲線為y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上時，寫作：　　y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)

此時，橢圓曲線不再是一條光滑曲線，而是一些不連續的點，如下圖所示。以點(1,7)為例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此還有如下點：

(0,1) (0,22)　　(1,7) (1,16)　　(3,10) (3,13)　　(4,0)　　(5,4) (5,19)　　(6,4) (6,19)　　(7,11) (7,12)　　(9,7) (9,16)　　(11,3) (11,20)　　等等。

另外，如果P(x,y)為橢圓曲線上的點，則-P即(x,-y)也為橢圓曲線上的點。如點P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也為橢圓曲線上的點。

計算xG

相關公式如下：　　有限域GF(p)上的橢圓曲線y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，則R(Xr,Yr) = P+Q 由如下規則確定：

Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p　　Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p　　其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）

因此，有限域GF(23)上的橢圓曲線y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假設以(0,1)為G點，計算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：

計算2G：　　λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12　　Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6　　Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19　　即2G為點(6,19)

計算3G：　　3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)　　λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3　　Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3　　Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13　　即3G為點(3, 13)

橢圓曲線加解密演算法原理

建立基於橢圓曲線的加密機制，需要找到類似RSA質因子分解或其他求離散對數這樣的難題。而橢圓曲線上的已知G和xG求x，是非常困難的，此即為橢圓曲線上的的離散對數問題。此處x即為私鑰，xG即為公鑰。

橢圓曲線加密演算法原理如下：

設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。

公鑰加密：　　選擇隨機數r，將訊息M生成密文C，該密文是一個點對，即：　　C = {rG, M+rK}，其中K為公鑰

私鑰解密：　　M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M　　其中k、K分別為私鑰、公鑰。

橢圓曲線簽名演算法原理

橢圓曲線簽名演算法，即ECDSA。　　設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。

私鑰簽名：　　1、選擇隨機數r，計算點rG(x, y)。　　2、根據隨機數r、訊息M的雜湊h、私鑰k，計算s = (h + kx)/r。　　3、將訊息M、和簽名{rG, s}發給接收方。

公鑰驗證簽名：　　1、接收方收到訊息M、以及簽名{rG=(x,y), s}。　　2、根據訊息求雜湊h。　　3、使用傳送方公鑰K計算：hG/s + xK/s，並與rG比較，如相等即驗籤成功。

原理如下：　　hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s　　= r(h+xk)G / (h+kx) = rG

簽名過程

假設要簽名的訊息是一個字串：“Hello World!”。DSA簽名的第一個步驟是對待簽名的訊息生成一個訊息摘要。不同的簽名演算法使用不同的訊息摘要演算法。而ECDSA256使用SHA256生成256位元的摘要。摘要生成結束後，應用簽名演算法對摘要進行簽名：產生一個隨機數k利用隨機數k，計算出兩個大數r和s。將r和s拼在一起就構成了對訊息摘要的簽名。這裡需要注意的是，因為隨機數k的存在，對於同一條訊息，使用同一個演算法，產生的簽名是不一樣的。從函式的角度來理解，簽名函式對同樣的輸入會產生不同的輸出。因為函式內部會將隨機值混入簽名的過程。

這個是網上ecc 的demo

# -*- coding:utf-8 -*-def get_inverse(value, p):    """    求逆元    :param value: 待求逆元的值    :param p: 模數    """    for i in range(1, p):        if (i * value) % p == 1:            return i    return -1def get_gcd(value1, value2):    """    輾轉相除法求最大公約數    :param value1:    :param value2:    """    if value2 == 0:        return value1    else:        return get_gcd(value2, value1 % value2)def get_PaddQ(x1, y1, x2, y2, a, p):    """    計算P+Q    :param x1: P點橫座標    :param y1: P點縱座標    :param x2: Q點橫座標    :param y2: Q點縱座標    :param a: 曲線引數    :param p: 曲線模數    """    flag = 1 # 定義符號位(+/-)    # 如果P=Q，斜率k=(3x^2+a)/2y mod p    if x1 == x2 and y1 == y2:        member = 3 * (x1 ** 2) + a # 分子        denominator = 2 * y1 # 分母    # 如果P≠Q， 斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p    else:        member = y2 - y1        denominator = x2 - x1        if member * denominator < 0:            flag = 0 # 表示負數            member = abs(member)            denominator = abs(denominator)    # 化簡分子分母    gcd = get_gcd(member, denominator) # 最大公約數    member = member // gcd    denominator = denominator // gcd    # 求分母的逆元    inverse_deno = get_inverse(denominator, p)    # 求斜率    k = (member * inverse_deno)    if flag == 0:        k = -k    k = k % p    # 計算P+Q=(x3,y3)    x3 = (k ** 2 - x1 - x2) % p    y3 = (k * (x1-x3) -y1) % p    return x3, y3def get_order(x0, y0, a, b, p):    """    計算橢圓曲線的階    """    x1 = x0 # -P的橫座標    y1 = (-1 * y0) % p # -P的縱座標    temp_x = x0    temp_y = y0    n = 1    while True:        n += 1        # 累加P,得到n*P=0∞        xp, yp = get_PaddQ(temp_x, temp_y, x0, y0, a, p)        # 如果(xp,yp)==-P，即(xp,yp)+P=0∞，此時n+1為階數        if xp == x1 and yp == y1:            return n+1        temp_x = xp        temp_y = ypdef get_dot(x0, a, b, p):    """    計算P和-P    """    y0 = -1    for i in range(p):        # 滿足適合加密的橢圓曲線條件，Ep(a,b)，p為質數，x,y∈[0,p-1]        if i**2 % p == (x0**3 + a*x0 + b) % p:            y0 = i            break    # 如果找不到合適的y0返回False    if y0 == -1:        return False    # 計算-y    x1 = x0    y1 = (-1*y0) % p    return x0, y0, x1, y1def get_graph(a, b, p):    """    畫出橢圓曲線散點圖    """    xy = []    # 初始化二維陣列    for i in range(p):        xy.append(['-' for i in range(p)])    for i in range(p):        value = get_dot(i, a, b, p)        if (value != False):            x0,y0,x1,y1 = value            xy[x0][y0] = 1            xy[x1][y1] = 1    print('橢圓曲線散點圖：')    for i in range(p):        temp = p - 1 -i        if temp >= 10:            print(temp, end='')        else:            print(temp, end='')        # 輸出具體座標值        for j in range(p):            print(xy[j][temp], end='')        print()    print(' ', end='')    for i in range(p):        if i >= 10:            print(i, end='')        else:            print(i, end='')    print()def get_nG(xG, yG, priv_key, a, p):    """    計算nG    """    temp_x = xG    temp_y = yG    while priv_key != 1:        temp_x, temp_y = get_PaddQ(temp_x, temp_y, xG, yG, a, p)        priv_key -= 1    return temp_x, temp_ydef get_KEY():    """    生成公鑰私鑰    """    # 選擇曲線方程    while True:        a = int(input('輸入橢圓曲線引數a（a>0）的值：'))        b = int(input('輸入橢圓曲線引數b（b>0）的值：'))        p = int(input('輸入橢圓曲線引數p（p為素數）的值：'))        # 滿足曲線判別式        if (4*(a**3)+27*(b**2))%p == 0:            print('輸入的引數有誤，請重新輸入！\n')        else:            break    # 輸出曲線散點圖    get_graph(a, b, p)    # 選擇基點G    print('在上圖座標系中選擇基點G的座標')    xG = int(input('橫座標xG：'))    yG = int(input('縱座標yG：'))    # 獲取曲線的階    n = get_order(xG, yG, a, b, p)    # 生成私鑰key，且key<n    priv_key = int(input('輸入私鑰key(<%d)：'%n))    #生成公鑰KEY    xK, yK = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p)    return xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yGdef encrypt(xG, yG, xK, yK,priv_key, a, p, n):    """    加密    """    k = int(input('輸入一個整數k(<%d)用於計算kG和kQ：' % n))    kGx, kGy = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p) # kG    kQx, kQy = get_nG(xK, yK, priv_key, a, p) # kQ    plain = input('輸入需要加密的字串：')    plain = plain.strip()    c = []    print('密文為：', end='')    for char in plain:        intchar = ord(char)        cipher = intchar * kQx        c.append([kGx, kGy, cipher])        print('(%d,%d),%d' % (kGx, kGy, cipher), end=' ')    print()    return cdef decrypt(c, priv_key, a, p):    """    解密    """    for charArr in c:        kQx, kQy = get_nG(charArr[0], charArr[1], priv_key, a, p)        print(chr(charArr[2] // kQx), end='')    print()if __name__ == '__main__':    xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG = get_KEY()    c = encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n)    decrypt(c, priv_key, a, p)

由於本人水平有限，文章出現紕漏，還請大佬們斧正。