什麼是蒙特卡洛模擬
蒙特卡洛(Monte Carlo)模擬是以機率統計原理為基礎，
模擬自變數的隨機變化，算出由這些自變數所導致的其它因變數的數值，
並對結果進行統計分析，研究其分佈規律，以達到認識事物特徵及其變化規律的方法。
在對一些複雜電子電路進行分析計算時，
我們通常很難根據電子、電路理論得到電壓、電流、功率等電氣引數的解析解。
即使得到了解析解，我們很難分析因變數與自變數的極值關係，
因而無法得到各電氣引數的最大、最小值，無法對其可靠性進行有效評估；
根據中心極限定理，一個由多個隨機變數組成的整體分佈為高斯分佈，與多個隨機變數的分佈形式無關。
蒙特卡洛採用隨機行走的方法，以某種機率分佈(一般以均勻分佈即可）的方式在一定範圍內隨機設定各元器件的效能引數，並計算出分析參量值。
儘可能多得重複該隨機過程，對得到的分析參量進行統計分析，得到參量的分佈情況，
以3倍的標準差所對應的分析參量值（相對為97.3%的機率分佈），並將此值當作最壞情況對應的參量值。
圓周率的計算如下圖所示，一個圓位於正方形內部，並與正方形相切；
圓與正方形相切
圓和正方形的面積之比是π/4。
在這個正方形內部，隨機產生n個點（這些點服從均勻分佈），
計算它們與中心點的距離是否大於圓的半徑，
以此判斷是否落在圓的內部。統計圓內的點數，
與n的比值乘以4，就是π的值。
理論上，n越大，計算的π值越準。
PS: 自幾年前起，matlab6.5不能在64位系統上安裝，matlab2010R需要license，
我就失去了matlab這一科研利器，對複雜計算就累覺不愛了。
沒有了matlab，我用excel採用蒙特卡洛來計算圓周率，步驟如下：
1) 採用rand函式產生兩組N個隨機數，分別放於A列單元格以及B列單元格，一組計為x，另一組計為y；
2) 在c列單元格中，以公式sqrt(power(a2-0.5,2)+power(b2-0.5,2))，計算每一個(x,y)與圓心(0.5,0.5)的距離；
3)在d列單元格中，以公式if(c2<=0.5,1,0)對位於圓內的點進行對映，位於圓內的對映為數值1，否則對映為0。
4)對d列進行求和，得到的值就是位於圓內的點的個數M，
5)圓內的點數/總的點數=圓的面積/正方形的面積=π/4，得到π=4*圓內的點數/總的點數。
利用excel進行蒙特卡洛模擬
當Ｎ取5000時，算出π=3.127826
5000個隨機點得到的x,y分佈
當Ｎ取100000時，算出出π=3.14248。
N=100000
隨機點數越多，計算得到的π越準確。
電路可靠性分析在上一篇文章中，我分析了一個用於數碼管LED驅動的電路，如下圖：
用於數碼管驅動的射極跟隨電路
分析得到三極體Q1的基極的電流計算公式：
Q1的基極電流公式
式中，VOH是5.0V供電的微控制器的輸出高電壓；
VBE是三極體Q1的B、E極導通電壓；
β三極體Q1的電流放大倍數；
透過一些簡化，算出流過LED的電流是一個恆定值，典型值大概為10mA。
但是並沒有算出一些極限引數，不知道在其它電引數變化時，是否還保持恆定。
另外，未能三極體最大功率，不知道其是否能穩定工作，等等。
進一步計算，我們還可以得到流過LED的電流為：
Ic=β*Ib；
Q1的功耗為：
P=(VBat-(β+1)*Ib*R1-VLed)*β*Ib。
其中，VBat為電池電壓，VLed為LED的導通電壓；
我們接下來在兩個方面對I和P進行可靠性分析：
1) 流過LED的電流最大值、最小值，確認其能保持恆定；
2) 三極體Q1在極限情況下的最大功耗，確保其不超過允許的最大功耗。
在上述分析時，根據規格書，我們知道與之相關的引數的取值範圍：
VOH：4.8V-5.2V；
VBE：0.3V-0.9V；
R1：351Ω-429Ω；
R2：0.9kΩ-1.1kΩ；
R3：4.23kΩ-5.15kΩ；
β：30-150；
VLED：1.8V-2.5V;
VBat：9V-16V;
假設，這些變數都是獨立不相關，而且其取值都在規格範圍內隨機分佈的。
採用excel生成Ｎ組各變數的隨機數，計算Ic和P：
採用excel進行電路monte carlo分析
取N=100000，得到流過LED的電流最大值為11.11mA，最小值為6.46mA。
三極體Q1的功耗最大值為112mW，最小值為24mW。
利用frequency函式對結果進行分割槽間統計，並繪製分佈圖，如下：
LED電流的機率密度曲線
三極體功率的機率密度曲線
從數值結果來看，
LED的平均電流為：8.70mA，標準差σ為0.73mA；
取+/-3σ為最小、最大值，得到最小電流為：6.51mA，最大電流為：10.89mA；
波動範圍比較小。
三極體功耗的平均值為：60.1mW，標準差σ為18.2mＷ，
取+/-3σ為最小、最大值，得到最小功率為：5.2mW，最大功率為：115mW。
在其允許最大功耗200mW範圍內，所以在最壞情況下，三極體的功耗仍能滿足規格要求；