插值、擬合和微分方程-python實現
問題1 車輛數量估計題目描述python 實現(關鍵程式)結果問題2 舊車平均價格題目描述Python 實現(關鍵程式)結果問題3 微分方程組求解題目描述Python實現(關鍵程式)結果問題4 野兔數量題目描述Python實現(關鍵程式)結果問題1 車輛數量估計題目描述
交通管理部門為了掌握一座橋樑的通行情況，在橋樑的一端每隔一段不等的時間，連續記錄1min內透過橋樑的車輛數量，連續觀測一天24h的透過車輛，車輛資料如下表所示。試建立模型分析估計這一天中總共有多少車輛透過這座橋樑。
python 實現(關鍵程式)
def get_line(xn, yn): def line(x): index = -1 # 找出x所在的區間 for i in range(1, len(xn)): if x <= xn[i]: index = i - 1 break else: i += 1 if index == -1: return -100 # 插值 result = (x - xn[index + 1]) * yn[index] / float((xn[index] - xn[index + 1])) + (x - xn[index]) * yn[ index + 1] / float((xn[index + 1] - xn[index])) return result return linetime = [0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.5, 11.5, 12.5, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24]num = [2, 2, 0, 2, 5, 8, 25, 12, 5, 10, 12, 7, 9, 28, 22, 10, 9, 11, 8, 9, 3]# 分段線性插值函式lin = get_line(time, num)# time_n = np.arange(0, 24, 1/60)time_n = np.linspace(0, 24, 24*60+1)num_n = [lin(i) for i in time_n]sum_num = sum(num_n)print("估計一天透過的車輛：%d" % sum_num)123456789101112131415161718192021222324252627282930結果
問題2 舊車平均價格題目描述
某年美國舊車價格的調查資料如下表所示，其中xix_ixi表示轎車的使用年數，yiy_iyi表示相應的平均價格。試分析用什麼形式的曲線擬合表中所給的資料，並預測使用4.5年後轎車的平均價格大致為多少?
Python 實現(關鍵程式)
from scipy.optimize import curve_fitdef func(x, a, b, c): # 指數函式擬合 return a * (b**(x-1)) + cyear = np.arange(1, 11, 1)price = [2615, 1943, 1494, 1087, 765, 538, 484, 290, 226, 204]popt, pcov = curve_fit(func, year, price)a = popt[0]b = popt[1]c = popt[2]price_fit = func(year, a, b, c)123456789101112結果
問題3 微分方程組求解題目描述
求下列微分方程組(豎直加熱板的自然對流)的數值解⎧⎩⎨⎪⎪d3fdη3+3fd2fdη2−2(dfdη)2+T=0d2Tdη2+2.1fdTdη=0\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}^{3} f}{\mathrm{d} \eta^{3}}+3 f \frac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} \eta^{2}}-2\left(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \eta}\right)^{2}+T=0 \\ \frac{\mathrm{d}^{2} T}{\mathrm{d} \eta^{2}}+2.1 f \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} \eta}=0\end{array}\right.⎩⎨⎧dη3d3f+3fdη2d2f−2(dηdf)2+T=0dη2d2T+2.1fdηdT=0已知當η=0\eta=0η=0時，f=0,dfdη=0,d2fdη2=0.68,T=1,dTdη=−0.5f=0, \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \eta}=0, \frac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} \eta^{2}}=0.68, T=1, \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} \eta}=-0.5f=0,dηdf=0,dη2d2f=0.68,T=1,dηdT=−0.5 要求在區間[0,10]上畫出數值解的曲線。
Python實現(關鍵程式)
from scipy.integrate import solve_ivpdef natural_convection(eta, y): # 將含有兩個未知函式的高階微分方程降階，得到由2+3個一階微分方程組成的方程組 T1 = y[0] T2 = y[1] f1 = y[2] f2 = y[3] f3 = y[4] return T2, -2.1*f1*T2, f2, f3, -3*f1*f3 + 2*(f2**2)-T1eta = np.linspace(0, 10, 1000)eta_span = [0, 10]init = np.array([ 1, -0.5, 0, 0, 0.68])curve = solve_ivp(natural_convection, eta_span, init, t_eval=eta)1234567891011121314結果
問題4 野兔數量題目描述
某地區野兔的數量連續9年的統計數量(單位:十萬)如下表所示.預測t = 9, 10時野兔的數量。
Python實現(關鍵程式)
import numpy as npyear = np.arange(0, 9, 1)num = [5, 5.9945, 7.0932, 8.2744, 9.5073, 10.7555, 11.9804, 13.1465, 14.2247]fit = np.polyfit(year, num, 1)print("線性擬合表示式：", np.poly1d(fit))num_fit = np.polyval(fit, year)plt.plot(year, num, 'ro', label='原始資料')plt.plot(year, num_fit, 'b-',label='擬合曲線')year_later = np.arange(8, 11, 0.5)num_fit_curve = fit[0] * year_later + fit[1]123456789101112結果