任意階幻方構造方法
幻方,亦稱縱橫圖.台灣稱為魔術方陣.將自然數1,2,3,……n*n排列成一個n*n方陣,使得每行、每列以及兩對角線上的各個數之和都相等,等於n/2*(n*n+1),這樣的方陣稱為幻方.
例如：把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入3*3的格子,使得：每行、每列、兩條對角線的和是15.
8 1 6
3 5 7
4 9 2
n是它的階數,比如上面的幻方是3階.n/2*(n*n+1)為幻方的變幻常數.數學上已經證明,對於n>2,n階幻方都存在.
目前填寫幻方的方法,是把幻方分成了三類,每類又有各種各樣的填寫方法.這裡對於這三類幻方,僅舉出一種方便手工填寫的方法.
1、奇數階幻方
n為奇數 (n=3,5,7,9,11……) (n=2*k+1,k=1,2,3,4,5……)
奇數階幻方最經典的填法是羅伯特法(也有人稱之為樓梯法).填寫方法是這樣：
把1(或最小的數)放在第一行正中； 按以下規律排列剩下的n*n-1個數：
(1)、每一個數放在前一個數的右上一格；
(2)、如果這個數所要放的格已經超出了頂行那麼就把它放在底行,仍然要放在右一列；
(3)、如果這個數所要放的格已經超出了最右列那麼就把它放在最左列,仍然要放在上一行；
(4)、如果這個數所要放的格已經超出了頂行且超出了最右列,那麼就把它放在前一個數的下一行同一列的格內；
(5)、如果這個數所要放的格已經有數填入,處理方法同(4).
這種寫法總是先向“右上”的方向,象是在爬樓梯.
2、雙偶階幻方
n為偶數,且能被4整除 (n=4,8,12,16,20……) (n=4k,k=1,2,3,4,5……)
先說明一個定義：
互補：如果兩個數字的和,等於幻方最大數和最小數的和,即 n*n+1,稱為互補.
先看看4階幻方的填法：將數字從左到右、從上到下按順序填寫：
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
這個方陣的對角線,已經用藍色標出.將對角線上的數字,換成與它互補的數字.
這裡,n*n+1 = 4*4+1 = 17；
把1換成17-1 = 16；把6換成17-6 = 11；把11換成17-11 = 6……換完後就是一個四階幻方.
對於n=4k階幻方,我們先把數字按順序填寫.寫好後,按4*4把它劃分成k*k個方陣.因為n是4的倍數,一定能用4*4的小方陣分割.然後把每個小方陣的對角線,象制作4階幻方的方法一樣,對角線上的數字換成互補的數字,就構成幻方.
下面是8階幻方的作法：
(1) 先把數字按順序填.然後,按4*4把它分割成2*2個小方陣
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
(2) 每個小方陣對角線上的數字,換成和它互補的數.
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
3、單偶階幻方
n為偶數,且不能被4整除 (n=6,10,14,18,22……) (n=4k+2,k=1,2,3,4,5……)
這是三種裡面最複雜的幻方.
以n=10為例.這時,k=2
(1) 把方陣分為A,B,C,D四個象限,這樣每一個象限肯定是奇數階.用樓梯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇數階幻方的填法填數.
任意階幻方構造方法
幻方,亦稱縱橫圖.台灣稱為魔術方陣.將自然數1,2,3,……n*n排列成一個n*n方陣,使得每行、每列以及兩對角線上的各個數之和都相等,等於n/2*(n*n+1),這樣的方陣稱為幻方.
例如：把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入3*3的格子,使得：每行、每列、兩條對角線的和是15.
8 1 6
3 5 7
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n是它的階數,比如上面的幻方是3階.n/2*(n*n+1)為幻方的變幻常數.數學上已經證明,對於n>2,n階幻方都存在.
目前填寫幻方的方法,是把幻方分成了三類,每類又有各種各樣的填寫方法.這裡對於這三類幻方,僅舉出一種方便手工填寫的方法.
1、奇數階幻方
n為奇數 (n=3,5,7,9,11……) (n=2*k+1,k=1,2,3,4,5……)
奇數階幻方最經典的填法是羅伯特法(也有人稱之為樓梯法).填寫方法是這樣：
把1(或最小的數)放在第一行正中； 按以下規律排列剩下的n*n-1個數：
(1)、每一個數放在前一個數的右上一格；
(2)、如果這個數所要放的格已經超出了頂行那麼就把它放在底行,仍然要放在右一列；
(3)、如果這個數所要放的格已經超出了最右列那麼就把它放在最左列,仍然要放在上一行；
(4)、如果這個數所要放的格已經超出了頂行且超出了最右列,那麼就把它放在前一個數的下一行同一列的格內；
(5)、如果這個數所要放的格已經有數填入,處理方法同(4).
這種寫法總是先向“右上”的方向,象是在爬樓梯.
2、雙偶階幻方
n為偶數,且能被4整除 (n=4,8,12,16,20……) (n=4k,k=1,2,3,4,5……)
先說明一個定義：
互補：如果兩個數字的和,等於幻方最大數和最小數的和,即 n*n+1,稱為互補.
先看看4階幻方的填法：將數字從左到右、從上到下按順序填寫：
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
這個方陣的對角線,已經用藍色標出.將對角線上的數字,換成與它互補的數字.
這裡,n*n+1 = 4*4+1 = 17；
把1換成17-1 = 16；把6換成17-6 = 11；把11換成17-11 = 6……換完後就是一個四階幻方.
對於n=4k階幻方,我們先把數字按順序填寫.寫好後,按4*4把它劃分成k*k個方陣.因為n是4的倍數,一定能用4*4的小方陣分割.然後把每個小方陣的對角線,象制作4階幻方的方法一樣,對角線上的數字換成互補的數字,就構成幻方.
下面是8階幻方的作法：
(1) 先把數字按順序填.然後,按4*4把它分割成2*2個小方陣
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
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(2) 每個小方陣對角線上的數字,換成和它互補的數.
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
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3、單偶階幻方
n為偶數,且不能被4整除 (n=6,10,14,18,22……) (n=4k+2,k=1,2,3,4,5……)
這是三種裡面最複雜的幻方.
以n=10為例.這時,k=2
(1) 把方陣分為A,B,C,D四個象限,這樣每一個象限肯定是奇數階.用樓梯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇數階幻方的填法填數.