當函數z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導數f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時，我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導。如果函數f(x,y)在域D的每一點均可導，那麼稱函數f(x,y)在域D可導。

公式
∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]
∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]
∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]
∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]
求二階偏導數的方法
此時，對應於域D的每一點(x,y)，必有一個對x(對y)的偏導數，因而在域D確定了一個新的二元函數，稱為f(x,y)對x(對y)的偏導函數。簡稱偏導數。
按偏導數的定義，將多元函數關於一個自變量求偏導數時，就將其餘的自變量看成常數，此時他的求導方法與一元函數導數的求法是一樣的。
設有二元函數z=f(x,y)，點(x0,y0)是其定義域D內一點。把y固定在y0而讓x在x0有增量△x，相應地函數z=f(x,y)有增量(稱為對x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果△z與△x之比當△x→0時的極限存在，那麼此極限值稱為函數z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數，記作f'x(x0,y0)或函數z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數。
把y固定在y0看成常數後，一元函數z=f(x,y0)在x0處的導數。同樣，把x固定在x0，讓y有增量△y，如果極限存在那麼此極限稱為函數z=(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導數。記作f'y(x0,y0)。
性質
(1)如果一個函數f(x)在某個區間I上有f''(x)(即二階導數)>0恆成立，那麼對於區間I上的任意x,y，總有：
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果總有f''(x)<0成立，那麼上式的不等號反向。
幾何的直觀解釋：如果一個函數f(x)在某個區間I上有f''(x)(即二階導數)>0恆成立，那麼在區間I上f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函數圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。
(2)判斷函數極大值以及極小值。
結合一階、二階導數可以求函數的極值。當一階導數等於0，而二階導數大於0時，為極小值點。當一階導數等於0，而二階導數小於0時，為極大值點；當一階導數和二階導數都等於0時，為駐點。
(3)函數凹凸性。
設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內具有一階和二階導數，那麼，
1.若在(a,b)內f''(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；
2.若在(a,b)內f’‘(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。
當函數z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導數f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時，我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導。如果函數f(x,y)在域D的每一點均可導，那麼稱函數f(x,y)在域D可導。

公式
∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]
∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]
∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]
∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]
求二階偏導數的方法
當函數z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導數f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時，我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導。如果函數f(x,y)在域D的每一點均可導，那麼稱函數f(x,y)在域D可導。
此時，對應於域D的每一點(x,y)，必有一個對x(對y)的偏導數，因而在域D確定了一個新的二元函數，稱為f(x,y)對x(對y)的偏導函數。簡稱偏導數。
按偏導數的定義，將多元函數關於一個自變量求偏導數時，就將其餘的自變量看成常數，此時他的求導方法與一元函數導數的求法是一樣的。
設有二元函數z=f(x,y)，點(x0,y0)是其定義域D內一點。把y固定在y0而讓x在x0有增量△x，相應地函數z=f(x,y)有增量(稱為對x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果△z與△x之比當△x→0時的極限存在，那麼此極限值稱為函數z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數，記作f'x(x0,y0)或函數z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數。
把y固定在y0看成常數後，一元函數z=f(x,y0)在x0處的導數。同樣，把x固定在x0，讓y有增量△y，如果極限存在那麼此極限稱為函數z=(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導數。記作f'y(x0,y0)。
性質
(1)如果一個函數f(x)在某個區間I上有f''(x)(即二階導數)>0恆成立，那麼對於區間I上的任意x,y，總有：
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果總有f''(x)<0成立，那麼上式的不等號反向。
幾何的直觀解釋：如果一個函數f(x)在某個區間I上有f''(x)(即二階導數)>0恆成立，那麼在區間I上f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函數圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。
(2)判斷函數極大值以及極小值。
結合一階、二階導數可以求函數的極值。當一階導數等於0，而二階導數大於0時，為極小值點。當一階導數等於0，而二階導數小於0時，為極大值點；當一階導數和二階導數都等於0時，為駐點。
(3)函數凹凸性。
設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內具有一階和二階導數，那麼，
1.若在(a,b)內f''(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；
2.若在(a,b)內f’‘(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。