偏導存在數由極限定義寫出某點(x0,Y0)偏導數的極限表達式，若函數在某點可微分，則函數在該點必連續；若二元函數在某點可微分，則該函數在該點對x和y的偏導數必存在。

偏導數存在和偏導數連續的區別，偏導數存在是原始函數可偏導的性質，不是偏導函數自己的性質，這說明原函數連續可偏導。偏導數連續有兩方面特點，一是偏導數存在，二是偏導數連續，比第一種情況要多一個性質。

多元函數關於在x0處的偏導數存在的充要條件就是。

(t趨於0)lim [f(x0+t)-f(x0)]/t存在,對於其他的自變量也是一樣的道理。多元函數可偏導與連續是非必要亦非充分關系。

例如：z = (x+1) |y| 在(0,0)點,對x 的偏導數存在,fx'(0,0) = 0,

對y 的偏導數不存在,因為 fy'+(0,0) = 1,fy'-(0,0) = -1

此時,需要說明該函數“對x 的偏導數存在,對y 的偏導數不存在”.



拓展資料：

在數學中，一個多變量的函數的偏導數，就是它關於其中一個變量的導數而保持其他變量恆定（相對於全導數，在其中所有變量都允許變化）。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。

在一元函數中，導數就是函數的變化率。對於二元函數研究它的“變化率”，由於自變量多了一個，情況就要複雜的多。

在 xOy 平面內，當動點由 P(x0,y0) 沿不同方向變化時，函數 f(x,y) 的變化快慢一般說來是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 點處沿不同方向的變化率。

這類問題一般都是證明在某點處偏導數存在,注意這時切記不能使用求導公式,以一元函數為例,這是因為用求導公式計算出來的導函數f'(x)往往含有間斷點,在間斷點x0處f'(x)無意義,但這不意味著f'(x0)一定不存在,例如f(x)=(x^2)sin(1/x)

x≠0

=0

x=0

可以驗證在可去間斷點x=0處,導函數f'(x)無意義,但f'(0)=0存在.

正確方法是用偏導數的定義來驗證,偏導數是通過極限來定義的,按定義寫出某點(x0,y0)處偏導數的極限表達式（以對x的偏導數為例）lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)（x趨於x0）,然後用極限的相關知識來考察這個極限是否存在,這極限是否存在和該點處偏導數是否存在是一致的,因此證明偏導數存在的任務就轉化為證明極限存在,這可以通過以下兩種途徑1,根據極限運算法則求出該極限,只要能求出極限的具體值,就等於證明了極限存在,而不用再費事去證明了；2,如果極限不容易求出,可以考慮用極限存在的準則去證明（例如夾逼準則）極限存在.（如果證明偏導數不存在則用極限的相關理論證明該極限不存在即可）

多說一點,在確定某點處偏導數存在的基礎上,往往還要討論偏導數在該點是否連續,這時才是用求導公式的時候,用求導公式計算出導函數f'x(x,y),這是一個關於x和y的二元函數,求(x0,y0)處二元函數f'x(x,y)的極限,如果這個極限存在且等於該點處的偏導數值,則偏導數連續,否則不連續.

用偏導數的定義來驗證:

1、偏導數是通過極限義寫出某點(x0,y0)處偏導數的極限表達式。

2、（以對x的偏導數為例）lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)（x趨於x0）。

3、然後用極限的相關知識來考察這個極限是否存在。

4、這極限是否存在和該點處偏導數是否存在是一致的,因此證明偏導數存在的任務就轉化為證明極限存在。

擴展資料：

求證偏導數存在要注意：

這類問題一般都是證明在某點處偏導數存在，注意這時切記不能使用求導公式，以一元函數為例：這是因為用求導公式計算出來的導函數f'(x)往往含有間斷點，在間斷點x0處f'(x)無意義。

比如：fy(x,y)是在點(x,y)關於y的偏導數，應當注意，這裡x是看作常數的，如果你要求(0,0)處關於y的偏導數，應該先把x固定成x=0，即先求出fy(0,y)=[4*(y^3)*e^(y^2)]/(y^2)=4*y*e^(y^2)，再以y=0代入，得到fy(0,0)=4*0*1=0。

函數偏導存在，可偏導是指對於有二個或二個以上未知數的函數，在其定義域內連續，對於該函數可就某個未知量單獨求導，將其它未知量視作常數，對此求導，稱作可偏導。