定理：設f(x)在[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上一致連續。

證明：用反證法。

假設f(x)不一致連續，那麼∃ϵ,∀n∈N+假設f(x)不一致連續，那麼∃ϵ,∀n∈N+

∃兩個點Sn,tn∈[a,b],有|Sn−tn|<1n,∃兩個點Sn,tn∈[a,b],有|Sn−tn|<1n,

且|f(Sn)−f(tn)|>ϵ(1)且|f(Sn)−f(tn)|>ϵ(1)

∵{Sn∈[a,b]}∵{Sn∈[a,b]}

∴由列緊性定理，任何有界數列，存在一個收斂子列Skn∴由列緊性定理，任何有界數列，存在一個收斂子列Skn

有Skn−>S∗∈[a,b]有Skn−>S∗∈[a,b]

可得：|tkn−s∗|⩽|tkn−Skn|+|Skn−S∗|可得：|tkn−s∗|⩽|tkn−Skn|+|Skn−S∗|

<1kn+|Skn−S∗|<1n+|Skn−S∗|<1kn+|Skn−S∗|<1n+|Skn−S∗|

由數列極限的夾逼定理，得到由數列極限的夾逼定理，得到

0⩽limn→∞|tkn−s∗|⩽limn→∞1n+|Skn−S∗|=00⩽limn→∞|tkn−s∗|⩽limn→∞1n+|Skn−S∗|=0

可知limn→∞tkn=0可知limn→∞tkn=0

即：tkn跟Skn有相同極限S∗即：tkn跟Skn有相同極限S∗

由(1)式，可知，∀n∈N+,有|f(Skn)−f(tkn)|⩾ϵ(2)由(1)式，可知，∀n∈N+,有|f(Skn)−f(tkn)|⩾ϵ(2)

由函數的連續性，可得：limn→∞f(Skn)=limn→∞f(S∗)由函數的連續性，可得：limn→∞f(Skn)=limn→∞f(S∗)

即Skn趨於S∗時，f(Skn)趨於f(S∗),這是根據函數連續性即Skn趨於S∗時，f(Skn)趨於f(S∗),這是根據函數連續性

同理，limn→∞f(tkn)=limn→∞f(S∗)同理，limn→∞f(tkn)=limn→∞f(S∗)

對(2)式兩側取極限，左側為limn→∞|f(Skn)−f(tkn)|=|limn→∞f(Skn)−limn→∞f(tkn)|−−−−−極限符號和絕對值的互換前提是各項極限存在，可以自己手工證明，對(2)式兩側取極限，左側為limn→∞|f(Skn)−f(tkn)|=|limn→∞f(Skn)−limn→∞f(tkn)|−−−−−極限符號和絕對值的互換前提是各項極限存在，可以自己手工證明，

分大於等於零和小於零的情況，極限和絕對值順序交換的結果是一致的分大於等於零和小於零的情況，極限和絕對值順序交換的結果是一致的

=|limn→∞f(S∗)−limn→∞f(S∗)|=0=|limn→∞f(S∗)−limn→∞f(S∗)|=0

右側為>ϵ右側為>ϵ,矛盾

證畢

說明：如果題設條件是開區間(a,b)，則Skn與tkn的極限S∗不一定在此區間內，說明：如果題設條件是開區間(a,b)，則Skn與tkn的極限S∗不一定在此區間內，

如果在區間以外，則該極限點，沒有函數定義f(S∗),例如f(x)=1x,如果極限點是0，f(x)在x點沒有定義如果在區間以外，則該極限點，沒有函數定義f(S∗),例如f(x)=1x,如果極限點是0，f(x)在x點沒有定義

欲證明在開區間連續，要證明在每一點都連續。只要證明在這區間內的某一點

有定義，左右極限相等，進而可以證明在開區間內連續，但是這一點必須具有任意性，注意，任意性!

欲證明在閉區間連續，先證明在開區間連續，再證明在左端點右連續，在右端點左連續即可