抽象函數的對稱性指的是這個函數的圖像關於一條直線對稱。這條直線叫做函數的對稱軸。

例如，函數y=x^2的圖像關於y軸對稱，因此y=x^2是一個關於y軸對稱的函數。

週期性指的是函數在某個區間內重複出現。例如，函數y=sin x在區間[0,2π]內重複出現，因此它是一個週期為2π的函數。

記憶方法可以通過觀察函數的圖像、分析函數的表達式或者通過練習來提高記憶效率。例如，你可以使用視覺記憶法來幫助你記憶函數的圖像，或者使用聯想記憶法來幫助你記憶函數的表達式。

1、抽象函數的對稱性

性質1 若函數y＝f(x)關於直線x＝a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：

（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)

性質2 若函數y＝f(x)關於點（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：

（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)

易知，y＝f(x)為偶（或奇）函數分別為性質1（或2）當a＝0時的特例。

2、複合函數的奇偶性

定義1、 若對於定義域內的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則複數函數y＝f[g(x)]為偶函數。

定義2、 若對於定義域內的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則複合函數y＝f[g(x)]為奇函數。

說明：（1）複數函數f[g(x)]為偶函數，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，複合函數y＝f[g(x)]為奇函數，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。

（2）兩個特例：y＝f(x＋a)為偶函數，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)為奇函數，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)

（3）y＝f(x＋a)為偶（或奇）函數，等價於單層函數y＝f(x)關於直線x＝a軸對稱（或關於點（a，0）中心對稱）

3、複合函數的對稱性

性質3複合函數y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關於直線x＝（b－a）/2軸對稱

性質4、複合函數y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關於點（（b－a）/2，0）中心對稱

推論1、 複合函數y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關於y軸軸對稱

推論2、 複合函數y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關於原點中心對稱

4、函數的週期性

若a是非零常數，若對於函數y＝f(x)定義域內的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數y＝f(x)是週期函數，且2|a|是它的一個週期。

①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)

③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)

5、函數的對稱性與週期性

性質5 若函數y＝f(x)同時關於直線x＝a與x＝b軸對稱，則函數f(x)必為週期函數，且T＝2|a－b|

性質6、若函數y＝f(x)同時關於點（a，0）與點（b，0）中心對稱，則函數f(x)必為週期函數，且T＝2|a－b|

性質7、若函數y＝f(x)既關於點（a，0）中心對稱，又關於直線x＝b軸對稱，則函數f(x)必為週期函數，且T＝4|a－b|