用[0,1]這個區間，作為tan(pi(x-1))，tan（pi/2*x）值域為[0,+無限]，包含了所有的自然數，既然1是可可數的，那麼以這個函數對應的所有自然數都是可數的QED。0，1，2，3，4，5，6，7……

可以一個一個數出來，所以是可數的。可數的定義就是說與自然數一樣多，自然數肯定與自然數一樣多，因為都是同一集合，所以是可數的。

我們從小就學會數數，1、2、3、4、5……，能數出籃子裡有多少蘋果，天上有多少星星。如果一個集合上的元素，我們一個一個地數，每個元素或遲或早都會數到，我們就說這個集合是可數的。有窮集合肯定是可數的，這裡只討論無窮集合的情況。

首先自然數集是可數的。實際上，我們有時把可數集定義為，能和自然數集建立一一對應的集合。

奇數集也是可數的。將它的元素從小到大排列就行了，1、3、5、9……，這樣，每個奇數早晚都會出現在這個數列上。同樣，偶數集也是可數的。

注意，在列出集合元素的時候可以重複，比如1、1、2、2、3、3……，只要每個元素最終都會出現就行了。

有些集合不容易判斷它們是否可數。比如整數集是不是可數的？我們把哪個數放在第一呢，如果把0放在第一位，然後將它們從小到大排列：0、1、2、3、4……。負數是不會出現在這個數列上的。又比如正有理數集，是否可數呢？像數軸那樣把它們從小到大排列肯定是不行的，因為沒有任何一個有理數排第一位。問題是否存在其他的排列方式可以把它們按順序數出來呢？

下面來證明關於可數集的一些結論。

1、整數集是可數的

這樣排列：0，1，-1，2，-2，3，-3……

2、所有正整數有序對(m,n)組成的集合是可數的

按圖中這樣的順序排列，每個有序對都出現在這個序列上。

3、正有理數集是可數的

正有理數是能表示成正整數之比的數，即m/n，m和n都是正整數。上面已經給出了所有有序對的排列方法，這裡只要用m/n取代(m,n)就行了。

1/1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4/1……。在這個數列上，相同的有理數會重複出現，實際上是出現無數次。比如1/1=2/2=3/3=……，但這不影響有理數集是可數的。

4、有理數集是可數的

在上面的數列中插入負有理數就可以了。

1/1，1/2，-1/2，2/1，-2/1，1/3，-1/3，2/2，-2/2，3/1，-3/1，1/4，-1/4……

5、兩個可數集的並是可數的

假設可數集A的元素這樣排列：A1、A2、A3、A4、A5……

假設可數集B的元素這樣排列：B1、B2、B3、B4、B5……

它們並集的元素就這樣排列：A1、B1、A2、B2、A3、B3、A4、B4……

自然數是可數的自然數的最小值為0第二亇是0+1……，n個是0+n，n個後面則是n+1。所以只要給出一個自然數，我們都會數下去。