求tanx除以sinx的極限，可以先將其化簡。tanx＝sinx／cosx，tanx／sinx＝（sinx／cosx）／sinx＝1／cosx，即是x的正割函數。由於當x＝k丌十丌／2（k為整數）時，函數值不存在，所以在該點處函數不是連續函數，函數極限也不存在。

由於x是變量，所以在各點處的極限也不同，一旦x確定了，極限也就確定了，例如x＝0時，極限為1。

lim(tanx/sinx)=lim[(sinx/cosx)/sinx

求極限的方法有：

通過等價無窮小替換來求極限、通過第一個重要極限來求極限、通過第二個重要極限來求極限、通過洛必達法則來求極限、通過夾逼定理來求極限等

1.求極限方法之通過等價無窮小替換求極限

什麼是無窮小？極限f(x)=0或者極限f(x)=0，此時稱函數f(x)為當x趨近於0或者x趨近於無窮時的無窮小。

無窮小與無窮小的比較：假設函數f(x)和函數g(x)都是當x趨近於x時的無窮小量。那麼，當極限f(x)/g(x)=1時，則稱函數f(x)和函數g(x)為當x趨近於x時的等價無窮小量，記為f(x)g(x)。

例如：極限(sinx/x)=1，則當x趨近於0時，有sinxx。

當x趨近於0時，需要記住的等價無窮小關系有：

sinxx；tanxx；arcsinxx；arctanxx；ln(1+x)x；(e^x-1)x；

1-cosx(1/2)x；(1+x)-1x；

2.求極限方法之通過第一個重要極限求極限

第一個重要極限是：當x趨近於0時，有極限(sinx/x)=1（或者極限(x/sinx)=1）

推廣形式：當f(x)趨向於0時，有極限[sinf(x)/f(x)]=1（或者極限[f(x)/sinf(x)]=1）=

例如：極限[sin(x-1)/(x-1)]=[sin(x-1)/(x-1)(x+1)]=[sin(x-1)/(x-1)][1/(x+1)]=1(1/2)=1/2

3.求極限方法之通過第二個重要極限求極限

第二個重要極限是：[1+(1/x)]=e或者[1+x]=e

拓展形式：[1+(1/f(x))]=e或者[1+f(x)]=e

例如：[(x+3)/(x+6)]=e^(-3/2)

4.求極限方法之通過洛必達法則求極限

當x趨近於x時，函數f(x)和函數g(x)的極限同時均為無窮小量（f(x)=0，g(x)=0）,或者同時均為無窮大量（f(x)=，g(x)=）時，有f(x)/g(x)=f(x)/g(x)