解答:sin²x的原函數是-1/2lncot²x/2+C

原函數=∫cscxdx =∫(1/sinx)dx =∫(sinx/sin²x)*dx =-∫d(cosx)/(1-cos²x) =-1/2(∫d(1+cosx)/(1+cosx)-∫d(1-cosx)/(1-cosx))

知識點:

原函數是指對於一個定義在某區間的已知函數f(x)，如果存在可導函數F(x)，使得在該區間內的任一點都存在dF(x)=f(x)dx，則在該區間內就稱函數F(x)為函數f(x)的原函數。已知函數f(x)是一個定義在某區間的函數，如果存在可導函數F(x)，使得在該區間內的任一點都有dF(x)=f(x)dx，則在該區間內就稱函數F(x)為函數f(x)的原函數。

原函數是x/2-1/4*sin2x+C。

求原函數的問題，應該利用二倍角餘弦公式將所給函數變形為（1-cos2x）/2，再利用導數公式就可以很容易找到它的原函數了，

求sin²x的導數就簡單了，利用複合函數的導數運算法則可得它的導數為2sinx cosx=sin2x

y=sinx的平方的導數是1/2x一1/4sin2x十c。因為這個函數Sin^2x是一個二次的正弦函數，設沒有現成的積分公式可用，但我們可以將它降冪成一次的餘弦函數，積分就容易了。∫sin^2xdx=∫1/2(1一cos2x)dx=1/2[x-∫1/2(cos2x)d(2x)]=1/2[x-1/2sin2x)十c=1/2x一1/4sin2x十C

sin²x的原函數是x/2-1/4*sin2x+C。

解：∫sin²xdx

=∫(1-cos²x)dx

=∫1dx-∫cos²xdx

=x-∫(1+cos2x)/2dx

=x-∫1/2dx-1/2*∫cos2xdx

=x-1/2*x-1/4∫cos2xd2x

=1/2*x-1/4*sin2x+C

=x/2-1/4*sin2x+C

即sin²x的原函數是x/2-1/4*sin2x+C。

擴展資料：

1、三角函數公式

(sinA)^2=(1-cos2A)/2、(cosA)^2=(cos2A-1)/2、(sinA)^2+(cosA)^2=1、sin2A=2sinAcosA

2、不定積分湊微分法

通過湊微分，最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。

例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C

直接利用積分公式求出不定積分。

3、常用的不定積分公式

∫1dx=x+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C