一、二項式定理和二項式係數的性質

1、二項式定理

對於任意正整數n，都有

(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbn。這個式子叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做

(a+b)n的二項展開式，其中各項的係數

Cnk(k∈0,1,2,⋯,n)叫做二項式係數。

2、二項展開式的通項

二項展開式的第k+1項

Tk+1=Cnkan−kbk(k∈0,1,2,⋯,n)叫做二項展開式的通項。

注：（1）通項是二項展開式的第k+1項，而不是第k項。

（2）字母b的指數和組合數的上標相同，與a與b的指數之和為n。

（3）展開式中第k+1項的二項式係數

Cnk與第k+1項的係數不一定相等，只有在特殊情況下，它們的值才相等。

（4）求常數項、有理項和係數最大的項時，一般要根據通項公式對k進行討論。

3、二項式係數的性質

（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩項的二項式係數相等，即

Cnm=Cnn−m(n=0,1,2,⋯,n)。

（2）增減性與最大值

增減性：當

k<n+12時，

Cnk是逐漸增大的；當

k>n+12時，

Cnk是逐漸減小的，且在中間取得最大值。

最大值：當n是偶數時，中間一項的二項式係數最大，最大值為

Cnn2；當n是奇數時，中間兩項的二項式係數最大，最大值為

Cnn−12，

Cnn+12。

4、二項式係數和

(a+b)n的展開式中，各個二項式係數和等於

2n，即

Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n。

二項展開式中，各偶數項的二項式係數和等於各奇數項的二項式係數和，即有

Cn1+Cn3+Cn5+⋯=Cn0+Cn2+Cn4+⋯=2n−1。

二、二項式定理的相關例題

(x2−3x)6的展開式中的常數項為___

A．603

B．63

C．135

D．45

答案：C

解析：

(x2−3x)6的展開式中的常數項為

C64(−3)4=135，故選C。