在歐式空間(Euclidean space，歐幾里德空間)中，同一平面上的兩條平行線永不相交。這是每個受過九年義務教育的人都知道的常識。

然而，這一常識在射影空間(projective space)中不再成立了，例如，你站在鐵道上觀察鐵軌，舉目遠望，隨著鐵軌離你的視線越來越遠，鐵軌會變得越來越窄，最終會在地平線處相交，相交於一個無窮遠處的點(at a point at infinity)。

鐵軌在遠處變窄，在地平線處相交

歐式空間(或笛卡爾空間，Cartesian space)很好地描述了我們常見的2D/3D幾何圖形(或幾何結構)，但它們不足以應付射影空間 (實際上，歐式幾何是射影幾何的一個子集)。

一個2D點的笛卡爾坐標可以表示為 (x, y)。如果把點移到無限遠處，怎麼表示呢？在無限遠處的點是  ，這在歐式空間中是沒有意義的。在射影空間中，平行線應該在無限遠處相交，但在歐式空間中不是這樣的。數學家們發現了一個方法來解決這個問題。

齊次坐標(Homogeneous coordinate，由August Ferdinand Möbius提出)使得能夠在投影空間中進行圖形和幾何的計算。齊次坐標是一種用  N+1個數表示N  維坐標的方法。

為了表示2D齊次坐標，我們簡單地在已有的(笛卡爾坐標)坐標上添加一個變量  。因此，一個笛卡爾坐標  用齊次坐標表示就變成了  。笛卡爾形式的  和  與齊次坐標  和之間的關系為:



舉例，一個笛卡坐標  用齊次坐標可以表示為  。如果把這個  點移到無窮遠處時，它變成了  (笛卡爾坐標表示)。但在齊次坐標中它可以表示為  ，因為  。注意使用齊次坐標，我們可以不用"  "就能表示無窮。

Why is it called "homogeneous"?

為什麼稱為齊次坐標？“齊次”是什麼意思？

正如之前提到的那樣，為了把齊次坐標  轉化為笛卡爾坐標，我們簡地用  除  :



由齊次坐標轉化為笛卡爾坐標的過程，我們可以發現一個事實，看下面的例子，箭頭左邊是齊次坐標，右邊是對應的笛卡爾坐標:

如你所見，齊次坐標點  和  對應於同一個笛卡爾坐標點  。並且任何標量乘積  和笛卡爾坐標點  都是同一個點。因此，這些點是“homogeneous”(即同質的，齊次的)，因為它們在歐式空間(或笛卡爾空間)中表示同一個點。換句話說，齊次坐標具有縮放不變性。

平行線不可能相交。因平行線的定義是：在同一平面內沒有公共點的兩條直線叫做平行線。∴在同一平面內兩直線位置關系：不平行就相交，不相交就平行。