2 數學競賽的的基本內容
國際數學競賽的開展導致了競賽數學的誕生，競賽開始的那些年頭，其內容主要是中學教材中的代數方程、平面幾何、三角函數，經過40多年的發展，已形成一個源於中學數學又高於中學數學的數學新層面，其思想方法逐漸與現代數學的潮流合拍.對1-51屆IMO試題(1959-2010)的統計表明，競賽數學正相對穩定在幾個重點內容上，可以歸結為四大支柱、三大熱點.
四大支柱是：代數，幾何，初等數論，組合初步(俗稱代數題、幾何題、算術題和智力題).三大熱點是：組合幾何、組合數論、集合分拆.
2-1 代數
代數是中學數學的主體內容，其在競賽中占據重要地位是理所當然的，已廣泛涉及恆等變形、方程、函數、多項式、不等式、數列、複數、函數方程、矩陣等方方面面.近年的重要特點是：
(1)出現集中的趨勢.
統計表明，近30年來，難度較小的問題(如恆等變形、單一的解方程等)消失了，明顯超出中學範圍的問題(如矩陣等)也消失了，代數問題正在不等式、數列、函數方程上集中，這表明IMO代數題的命題趨向是，既在努力避開有求解程式的內容、提高試題的難度，又在儘力避免超出中學生的知識範圍，而在思維的靈活性、創造性上做文章.
(2)運算與論證的綜合.
中學代數偏重於運算，並且常常有程序化、機械化的優勢(運算可以看成是機械化的推理).作為高層次的競賽，停留在運算的熟練和準確上是不夠的，因而IMO的代數題常以抽象論證的面目出現，並且時間也允許進行大數字、多字母、多環節的硬運算，一方面精確的演算為推理提供論據，另一方面論證推理又提出演算的需要、兩者相輔相成.從理解題意開始，到運算結構的分析、運算階段的連接，乃至整個解題程序的調控，都有運算與論證的交互推進，這構成了IMO代數題的一個發展趨勢，也體現著代數思維的一般性和從過程到對象(凝聚)等特徵.(預賽表明，是我們的一個弱點)
(3)與數論、組合、幾何的交叉.
代數知識在各個學科中都有基礎的作用，無論哪一門中學數學分支都少不了代數運算. IMO試題避開常規代數題的同時，正在加強與各個學科的綜合，不等式不僅有大量的數列不等式、最優化背景不等式，而且有越來越多的幾何不等式、數論不等式、組合不等式：方程知識也在數論問題、幾何問題或其他離散問題中屢屢出現.
2-2 幾何
歐幾里得的幾何雖然古老，但在提供幾何直覺和理性思維方面仍有不可替代的教育價值(許多科技工作者由此而啟蒙)，因而，歷來受到數學競賽的青睞，平面幾何證明已經屬於IMO的屆屆必考的內容，少則1題，多則2-3題.中國高中聯賽加試(二試)和冬令營考試，也是年年必有平面幾何題.
IMO中的幾何問題，包括平面幾何與立體幾何，但以平面幾何為主，立體幾何題從第22屆(1981)開始已經20多年沒有出現了，這一方面是組合幾何的湧入，另一方面是新穎的立體幾何題不好找，有的過淺，有的過舊，有的過難.
(1)幾何題的內容.
IMO的平面幾何數量較多、難度適中、方法多樣，可以分成三個層次.
第一層次，是與中學教材結合比較緊密的常規幾何題，雖然也有軌跡與作圖，但主要是以全等法、相似法為基礎的證明，重點是與圓有關的命題，因為圓的命題知識容量大、41
2 數學競賽的的基本內容
國際數學競賽的開展導致了競賽數學的誕生，競賽開始的那些年頭，其內容主要是中學教材中的代數方程、平面幾何、三角函數，經過40多年的發展，已形成一個源於中學數學又高於中學數學的數學新層面，其思想方法逐漸與現代數學的潮流合拍.對1-51屆IMO試題(1959-2010)的統計表明，競賽數學正相對穩定在幾個重點內容上，可以歸結為四大支柱、三大熱點.
四大支柱是：代數，幾何，初等數論，組合初步(俗稱代數題、幾何題、算術題和智力題).三大熱點是：組合幾何、組合數論、集合分拆.
2-1 代數
代數是中學數學的主體內容，其在競賽中占據重要地位是理所當然的，已廣泛涉及恆等變形、方程、函數、多項式、不等式、數列、複數、函數方程、矩陣等方方面面.近年的重要特點是：
(1)出現集中的趨勢.
統計表明，近30年來，難度較小的問題(如恆等變形、單一的解方程等)消失了，明顯超出中學範圍的問題(如矩陣等)也消失了，代數問題正在不等式、數列、函數方程上集中，這表明IMO代數題的命題趨向是，既在努力避開有求解程式的內容、提高試題的難度，又在儘力避免超出中學生的知識範圍，而在思維的靈活性、創造性上做文章.
(2)運算與論證的綜合.
中學代數偏重於運算，並且常常有程序化、機械化的優勢(運算可以看成是機械化的推理).作為高層次的競賽，停留在運算的熟練和準確上是不夠的，因而IMO的代數題常以抽象論證的面目出現，並且時間也允許進行大數字、多字母、多環節的硬運算，一方面精確的演算為推理提供論據，另一方面論證推理又提出演算的需要、兩者相輔相成.從理解題意開始，到運算結構的分析、運算階段的連接，乃至整個解題程序的調控，都有運算與論證的交互推進，這構成了IMO代數題的一個發展趨勢，也體現著代數思維的一般性和從過程到對象(凝聚)等特徵.(預賽表明，是我們的一個弱點)
(3)與數論、組合、幾何的交叉.
代數知識在各個學科中都有基礎的作用，無論哪一門中學數學分支都少不了代數運算. IMO試題避開常規代數題的同時，正在加強與各個學科的綜合，不等式不僅有大量的數列不等式、最優化背景不等式，而且有越來越多的幾何不等式、數論不等式、組合不等式：方程知識也在數論問題、幾何問題或其他離散問題中屢屢出現.
2-2 幾何
歐幾里得的幾何雖然古老，但在提供幾何直覺和理性思維方面仍有不可替代的教育價值(許多科技工作者由此而啟蒙)，因而，歷來受到數學競賽的青睞，平面幾何證明已經屬於IMO的屆屆必考的內容，少則1題，多則2-3題.中國高中聯賽加試(二試)和冬令營考試，也是年年必有平面幾何題.
IMO中的幾何問題，包括平面幾何與立體幾何，但以平面幾何為主，立體幾何題從第22屆(1981)開始已經20多年沒有出現了，這一方面是組合幾何的湧入，另一方面是新穎的立體幾何題不好找，有的過淺，有的過舊，有的過難.
(1)幾何題的內容.
IMO的平面幾何數量較多、難度適中、方法多樣，可以分成三個層次.
第一層次，是與中學教材結合比較緊密的常規幾何題，雖然也有軌跡與作圖，但主要是以全等法、相似法為基礎的證明，重點是與圓有關的命題，因為圓的命題知識容量大、41