中學課本中的非歐幾何學有:
羅氏幾何
羅巴切夫斯基幾何的公理系統和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“在平面內，從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由於平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。
我們知道，羅氏幾何除了一個平行公理之外採用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。所以羅氏幾何中的一些幾何事實沒有像歐式幾何那樣容易被接受。但是，數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅氏幾何是正確的。
1868年，意大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。
直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致讚美，他本人則被人們讚譽為“幾何學中的哥白尼”。
黎曼幾何
歐氏幾何與羅氏幾何中關於結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何
講“ 過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行”。那麼是否存在這樣的幾何“過直線外一點，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個問題。
黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。
黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。
近代黎曼幾何在廣義相對論裡得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裡，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間裡以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。
此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。
中學課本中的非歐幾何學有:
羅氏幾何
羅巴切夫斯基幾何的公理系統和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“在平面內，從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由於平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。
我們知道，羅氏幾何除了一個平行公理之外採用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。所以羅氏幾何中的一些幾何事實沒有像歐式幾何那樣容易被接受。但是，數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅氏幾何是正確的。
1868年，意大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。
直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致讚美，他本人則被人們讚譽為“幾何學中的哥白尼”。
黎曼幾何
歐氏幾何與羅氏幾何中關於結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何
講“ 過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行”。那麼是否存在這樣的幾何“過直線外一點，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個問題。
黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。
黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。
近代黎曼幾何在廣義相對論裡得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裡，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間裡以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。
此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。