非齊次線性方程組有唯一解的條件是（C、r（A）=n且b可由A的列向量線性表示）。

非齊次線性方程組Ax=b的求解步驟：

（1）對增廣矩陣B施行初等行變換化為行階梯形。若R(A)<R(B)，則方程組無解。

（2）若R(A)=R(B)，則進一步將B化為行最簡形。

（3）設R(A)=R(B)=r；把行最簡形中r個非零行的非0首元所對應的未知數用其餘n-r個未知數（自由未知數）表示。

相關信息：

係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否則為無解）。非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是rank(A)=n。

非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）。

無窮解的條件分別是Ax=0無非零解時，則A為滿秩矩陣。

則Ax=b一定有解。

Ax=0有無窮多解時，則A一定不為滿秩矩陣。

Ax=b的解得情況有無解和無窮多解。

無解：R(A)≠R(A|b)。

無窮解：R(A)等於R(A|b)。且不為滿秩。

Ax=b無解時，可知Ax=0一定有無窮多解。

Ax=b 有唯一解時，可知A為滿秩矩陣，則Ax=0只有零解。

齊次線性方程組，要麼零解（R(A)=n），要麼無窮解（R(A)<n)。

重要定理

1、每一個線性空間都有一個基。

2、對一個 n 行 n 列的非零矩陣 A，如果存在一個矩陣 B 使 AB = BA =E（E是單位矩陣），則 A 為非奇異矩陣（或稱可逆矩陣），B為A的逆陣。

3、矩陣非奇異（可逆）當且僅當它的行列式不為零。

4、矩陣非奇異當且僅當它代表的線性變換是個自同構。

5、矩陣半正定當且僅當它的每個特徵值大於或等於零。

6、矩陣正定當且僅當它的每個特徵值都大於零。

7、解線性方程組的克拉默法則。

8、判斷線性方程組有無非零實根的增廣矩陣和係數矩陣的關系。