三、 FIR濾波器線性相位特性的條件及設計方法

1.線性相位條件

為保證濾波器帶內輸出信號的形狀保持不變，常常要求濾波器單位沖激響應h(n)的頻率響應H(ejω)應具有線性的相頻特性，即H(ejω)=H(ω)e-jωk，其中H(ω)為幅頻特性，k為正整數。由傅氏變換的特性可知，線性相位濾波器只是將信號在時域上延遲了k個採樣點，因此不會改變輸入信號的形狀。

可以證明，如果濾波器單位沖激響應h(n)為實數，且滿足：偶對稱即h(n)=h(N-1-n)或奇對稱h(n)=-h(N-1-n)時，則其相頻特性一定是線性的。

2.設計方法

(1) 窗函數設計法

從時域出發，把理想的無限長的hd(n)用一定形狀的窗函數截取成有限長的h(n)，以此h(n)來逼近hd(n)，從而使所得到的頻率響應H(ejω)與所要求的理想頻率響應Hd(ejω)相接近。優點是簡單、實用，缺點是截止頻率不易控制。

(2) 頻率抽樣設計法

從頻域出發，把給定的理想頻率響應Hd(ejω)加以等間隔抽樣，所得到的H(k)作逆離散傅氏變換，從而求得h(n) ，並用與之相對應的頻率響應H(ejω)去逼近理想頻率響應Hd(ejω)。優點是直接在頻域進行設計，便於優化，缺點是截止頻率不能自由取值。

(3) 等波紋逼近計算機輔助設計法

前面兩種方法雖然在頻率取樣點上的誤差非常小，但在非取樣點處的誤差沿頻率軸不是均勻分布的，而且截止頻率的選擇還受到了不必要的限制。因此又由切比雪夫理論提出了等波紋逼近計算機輔助設計法。它不但能準確地指定通帶和阻帶的邊緣，而且還在一定意義上實現對所期望的頻率響應實行最佳逼近。

線性相位指的是相頻響應φ(ω)為頻率ω的線性函數，數學表示：φ(ω) = a*ω + b

通俗解釋是：信號經過濾波器後，各個頻率分量的延時時間都是一樣的。(此處如果理解著感覺矛盾，看下面群延時的解釋)。

這個濾波器對整個信號只產生了延遲一個採樣週期的效果，實現了線性相位。從這個例子可以很清楚地看到，線性相位指的是濾波器對每個頻點的相頻響應是一個線性關系。直觀地說，對於一個全通濾波器來說，就是不會改變信號的形狀。