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  • 1 # YrL

    正態分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussiandistribution),若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的高斯分布,記為N(μ,σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置,其標準差σ決定了分布的幅度。我們通常所說的標準正態分布是μ = 0,σ = 1的正態分布。

    當μ=0,σ=1時,正態分布就成為標準正態分布N(0,1)。概率密度函數為:

    正態分布的密度函數的特點是:關於μ對稱,並在μ處取最大值,在正(負)無窮遠處取值為0,在μ±σ處有拐點,形狀呈現中間高兩邊低,圖像是一條位於x軸上方的鐘形曲線。

    卡方分布:

    若n個相互獨立的隨機變量ξ₁、ξ₂、……、ξn ,均服從標準正態分布N(0,1)(也稱獨立同分佈於標準正態分布),則這n個服從標準正態分布的隨機變量的平方和構成一新的隨機變量,其分布規律稱為分布(chi-squaredistribution)。其中參數n稱為自由度(通俗講,樣本中獨立或能自由變化的自變量的個數,稱為自由度),正如正態分布中均值或方差不同就是另一個正態分布一樣,自由度不同就是另一個分布。記為。 分布的均值為自由度 n,記為 E( ) = n; 分布的方差為2倍的自由度(2n),記為 D( ) = 2n。

    從卡方分佈圖可以看出:卡方分布在第一象限內,卡方值都是正值,呈正偏態(右偏態),隨著參數 n 的增大;卡方分布趨近於正態分布;隨著自由度n的增大,卡方分布向正無窮方向延伸(因為均值n越來越大),分布曲線也越來越低闊(因為方差2n越來越大)。

    t分布:

    首先要提一句u分布,正態分布(normal distribution)是許多統計方法的理論基礎。正態分布的兩個參數μ和σ決定了正態分布的位置和形態。為了應用方便,常將一般的正態變量X通過u變換[(X-μ)/σ]轉化成標準正態變量u,以使原來各種形態的正態分布都轉換為μ=0,σ=1的標準正態分布(standard normaldistribution),亦稱u分布。根據中心極限定理,通過抽樣模擬試驗表明,在正態分布總體中以固定 n 抽取若干個樣本時,樣本均數的分布仍服從正態分布,即N(μ,σ)。所以,對樣本均數的分布進行u變換,也可變換為標準正態分布N (0,1)。

    由於在實際工作中,往往σ(總體方差)是未知

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