1.1、向量空間

向量空間包含兩類實體：標量和向量。關於向量還定義了兩種運算：數乘運算和加法運算。設u,v,wu,v,w是向量空間中的三個向量， kk是該空間的一個標量。則向量間的加法運算是封閉的，即

u+v∈V,∀u,v∈Vu+v∈V,∀u,v∈V

加法滿足交換律，即

u+v=v+uu+v=v+u

存在一個0向量，滿足

u+0=u,∀u∈Vu+0=u,∀u∈V

數乘運算滿足分配律

k(u+v)=ku+kv(u+v)k=ku+kvk(u+v)=ku+kv(u+v)k=ku+kv

在nn維向量空間VV中，設v1,v2,…,vnv1,v2,…,vn是向量空間VV的一組基，那麼該空間中任意一個向量vv可以唯一的表示為

v=β1v1+β2v2+...βnvnv=β1v1+β2v2+...βnvn

1.2、仿射空間

在向量空間中沒有位置和距離這樣的概念，這就像物理學中的矢量一樣，只有大小和方向，沒有位置。仿射空間比向量空間多了一類實體：點。設P,Q,RP,Q,R是仿射空間的點，在仿射空間中定義了一種新的運算：點與點的減法。

v=P−Qv=P−Q

P,QP,Q的減法得到一個向量vv。反之，對任意一個P,vP,v可以找到一個QQ與之對應

Q=P+vQ=P+v

仿射空間的許多性質來自仿射幾何，如果使用標架而不是座標系，那麼就可以在仿射空間中既表示向量又表示點。一個標架包含一個點P0P0和一組基向量v1,v2,…,vnv1,v2,…,vn,給定一個標架，任意一個向量可以唯一的表示為

v=α1v1+α2v2+...αnvnv=α1v1+α2v2+...αnvn

任意一個點可以表示為

P=P0+β1v1+β2v2+...βnvnP=P0+β1v1+β2v2+...βnvn

這裡兩組標量(α1,α2,…,αn)(α1,α2,…,αn)與(β1,β2,…,βn)(β1,β2,…,βn)分別給出了向量和點的表示。可以把點P0P0看做標架的原點，所有點都是相對這個參考點定義的