1.當b=0時,原方程為dy/dx=ax+c

==>dy=(ax+c)dx

==>y=ax²/2+cx+C (C是積分常數)

故此時,原方程的通解是y=ax²/2+cx+C (C是積分常數)；

2.當b≠0時,先解齊次方程dy/dx=by

∵dy/dx=by ==>dy/y=bdx

==>ln|y|=bx+ln|C| (C是積分常數)

==>y=Ce^(bx)

∴齊次方程dy/dx=by的通解是y=Ce^(bx) (C是積分常數)

∴設dy/dx=ax+by+c的通解為y=C(x)e^(bx) (C(x)是關於x的函數)

∵代入原方程得C'(x)e^(bx)=ax+c

==>C'(x)=(ax+c)e^(-bx)

==>C(x)=-(ax+c)e^(-bx)/b-a/b∫e^(-bx)dx

∴C(x)=-(ax+c)e^(-bx)/b-a/b²e^(-bx)+C （C是積分常數）

∴y=-(ax+c)/b-a/b²+Ce^(bx)

故此時,原方程的通解是y=-(ax+c)/b-a/b²+Ce^(bx) （C是積分常數）

∵齊次方程y''-6y'+9y=0的特徵方程是λ²-6λ+9=(λ-3)²=0

∴λ1=λ2=3

∵非齊次方程中3是特徵方程的重根

∴特解y*=x²(ax²+bx+c)e^3x



特點：

常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關幾點簡述一下，以了解常微分方程的特點。

求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達式，了解對某些參數的依賴情況，便於參數取值適宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助於進行關於解的其他研究。