1、離心率由正弦公式推導--F1P/sinα=F2P/sinβ=F1F2/sinθ,sinθ=sin(α+β),F1P+F2P=2a,F1F2=2c,e=c/a。

2、已知tan(θ/2)=sinα/(cosα+1)。

3、焦點三角形面積由余弦公式推導--∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n。

4、則m+n=2a，在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ。

5、即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)。

6、所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2。

7、所以mn=2b^2/(1+cosθ)。

8、S=(mnsinθ)/2=b^2*sinθ/(1+cosθ)=b^2*tan(θ/2）

橢圓焦點三角形面積公式推導如下：

設P為橢圓上的任意一點P（不與焦點共線）。

∠F2F1P=α，∠F1F2P=β，∠F1PF2=θ。

則有離心率e=sin(α＋β）／（sinα＋sinβ）。

焦點三角形面積S=b²·tan(θ／2)。

橢圓的焦點三角形性質為：

（1）|PF1|+|PF2|=2a。

（2）4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ。

（3）周長=2a+2c。

（4）面積=S=b²·tan(θ/2)（∠F1PF2=θ）。

答案：s=(mnsinθ)/2...(正弦定理的三角形面積公式=b^2*sinθ/(1+cosθ)=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)，橢圓焦點三角形面積公式的應用 定理 在橢圓(>>0)中,焦點分別為、,點P是橢圓上任意一 點,,則. y F1 O F2 x P P 證明:記,由橢圓的即通過餘弦定理為切入點，先算出兩條焦半徑的乘積，再由三角形面積公式計算得出。