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  • 1 # 肥妹變肥婆

    平面外的一個點A(x1,y1,z1),到一條直線的距離求法:

    先在空間直線上任意取一個點B(x2,y2,z2)

    作出AB的向量(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

    直線的方向向量為(m,n,p)

    算出方向向量和AB向量所在平面的法向量。

    計算出法向量的模:S1=根號下(a平方+b平方+c平方)

    計算出原直線方向向量的摸S2=根號下(m平方+n平方+p平方)

    空間中點到直線的距離D=S1/S2

    擴展資料:

    點到直線距離是連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短,這條垂線段的長度。目標在於通過對點到直線距離公式的推導,提高學生對數形結合的認識,加深用“計算”來處理“圖形”的意識。

    證:根據定義,點P(x₀,y₀)到直線l:Ax+By+C=0的距離是點P到直線l的垂線段的長,

    設點P到直線的垂線為l',垂足為Q,則l'的斜率為B/A

    則l'的解析式為y-y₀=(B/A)(x-x₀)

    把l和l'聯立得l與l'的交點Q的坐標為((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))

    由兩點間距離公式得

    PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

    +[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

    =[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2

    +[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

    =[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2

    +[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

    =A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

    +B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

    =(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

    =(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

    所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2),公式得證。

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