平面外的一個點A(x1,y1,z1),到一條直線的距離求法:
先在空間直線上任意取一個點B(x2,y2,z2)
作出AB的向量(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
直線的方向向量為(m,n,p)
算出方向向量和AB向量所在平面的法向量。
計算出法向量的模:S1=根號下(a平方+b平方+c平方)
計算出原直線方向向量的摸S2=根號下(m平方+n平方+p平方)
空間中點到直線的距離D=S1/S2
擴展資料:
點到直線距離是連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短,這條垂線段的長度。目標在於通過對點到直線距離公式的推導,提高學生對數形結合的認識,加深用“計算”來處理“圖形”的意識。
證:根據定義,點P(x₀,y₀)到直線l:Ax+By+C=0的距離是點P到直線l的垂線段的長,
設點P到直線的垂線為l',垂足為Q,則l'的斜率為B/A
則l'的解析式為y-y₀=(B/A)(x-x₀)
把l和l'聯立得l與l'的交點Q的坐標為((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))
由兩點間距離公式得
PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2
+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2
=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2
+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2
=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2
+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2
=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)
所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2),公式得證。
平面外的一個點A(x1,y1,z1),到一條直線的距離求法:
先在空間直線上任意取一個點B(x2,y2,z2)
作出AB的向量(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
直線的方向向量為(m,n,p)
算出方向向量和AB向量所在平面的法向量。
計算出法向量的模:S1=根號下(a平方+b平方+c平方)
計算出原直線方向向量的摸S2=根號下(m平方+n平方+p平方)
空間中點到直線的距離D=S1/S2
擴展資料:
點到直線距離是連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短,這條垂線段的長度。目標在於通過對點到直線距離公式的推導,提高學生對數形結合的認識,加深用“計算”來處理“圖形”的意識。
證:根據定義,點P(x₀,y₀)到直線l:Ax+By+C=0的距離是點P到直線l的垂線段的長,
設點P到直線的垂線為l',垂足為Q,則l'的斜率為B/A
則l'的解析式為y-y₀=(B/A)(x-x₀)
把l和l'聯立得l與l'的交點Q的坐標為((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))
由兩點間距離公式得
PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2
+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2
=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2
+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2
=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2
+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2
=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)
所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2),公式得證。