隨機變量是表示隨機現象各種結果的變量。

例如某一時間內地鐵站的人流數量，一臺機器在一定時間內出現錯誤的次數等等，都是隨機變量的實例。

在做實驗時，常常是相對於試驗結果本身而言，我們主要還是對結果的某些函數感興趣。例如，在擲骰子時，我們常常關心的是兩顆骰子的點和數，而並不真正關心其實際結果，我們關注的這些量，或者更形式的說，這些定義在樣本空間上的實值函數，稱為隨機變量。

因為隨機變量的值是由試驗結果決定的，所以我們可以給隨機變量的可能值指定概率。

隨機變量的表示方法：

例如擲一顆骰子出現的點數，電話交換臺在一定時間內收到的呼叫次數，隨機抽查的一個人的身高，懸浮在液體中的微粒沿某一方向的位移，等等，都是隨機變量的實例。

一個隨機試驗的可能結果（稱為基本事件）的全體組成一個基本空間Ω(見概率)。隨機變量x是定義於Ω上的函數，即對每一基本事件ω∈Ω，有一數值x(ω)與之對應。

以擲一顆骰子的隨機試驗為例，它的所有可能結果見，共6個，分別記作ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,這時，Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},而出現的點數這個隨機變量x，就是Ω上的函數x(ωk)=k，k=1,2,…，6。

又如設Ω={ω1,ω2,…，ωn}是要進行抽查的n個人的全體，那麼隨意抽查其中一人的身高和體重，就構成兩個隨機變量X和Y,它們分別是Ω上的函數：X(ωk)=“ωk的身高”，Y(ωk)=“ωk的體重”，k=1,2,…，n。

一般說來，一個隨機變量所取的值可以是離散的（如擲一顆骰子的點數只取1到6的整數，電話臺收到的呼叫次數只取非負整數），也可以充滿一個數值區間，或整個實數軸（如液體中懸浮的微粒沿某一方向的位移）。

正態分布的3倍原則是指:隨機變量出現在期望減3倍標準差到期望加3倍標準差區間內的概率是0.9975，所以出現在此區間外的事件是小概率事件。

數值分布在（μ-σ,μ+σ)中的概率為0.6827

數值分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率為0.9545

數值分布在（μ-3σ,μ+3σ)中的概率為0.9973

可以認為，Y 的取值幾乎全部集中在（μ-3σ,μ+3σ)區間內，超出這個範圍的可能性僅佔不到0.3%.

根據正態分布曲線的對稱性和三西格瑪原則即可進行正態分布相關運算。

正態分布曲線的對稱軸是均值，西格瑪的平方是方差。

正態分布及正態隨機變量

正態分布是連續型隨機變量概率分布中的一種，你幾乎能在各行各業中看到他的身影，自然界中某地多年統計的年降雪量、人類社會中比如某地高三男生平均身高、教育領域中的某地區高考成績、信號系統中的噪音信號等，大量自然、社會現象均按正態形式分布。

正態分布中有兩個參數，一個是隨機變量的均值 μμ，另一個是隨機變量的標準差 σσ，他的概率密度函數 PDF 為：fX(x)=1√2πσe−(x−μ)2/(2σ2)fX(x)=12πσe−(x−μ)2/(2σ2)。

當我們指定不同的均值和標準差參數後，就能得到不同正態分布的概率密度曲線，正態分布的概率密度曲線形狀都是類似的，他們都是關於均值 μμ 對稱的鐘形曲線，概率密度曲線在離開均值區域後，呈現出快速的下降形態。

這裡，我們不得不專門提一句，當均值 μ=0μ=0，標準差 σ=1σ=1 時，我們稱之為標準正態分布。

還是老規矩，眼見為實，下面來觀察兩組正態分布的概率密度函數取值，一組是均值為 00，標準差為 11 的標準正態分布。另一組，我們取均值為 11，標準差為 22。

兩個正態分布的任意線性組合仍服從正態分布（可通過求兩個正態分布的函數的分布證明），此結論可推廣到n個正態分布 。

例如： 設兩個變量分別為X,Y，那麼E（X+Y）=EX+EY;E(X-Y)=EX-EY D(X+Y)=DX+DY;D(X-Y)=DX+DY。 拓展資料： 正態分布（Normal distribution），也稱“常態分佈”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。

C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。

正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。

若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。

其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度。

當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標準正態分布。 ：正態分布-

正態分布是這樣進行加減乘除運算的： 兩個正態分布的任意線性組合仍服從正態分布（可通過求兩個正態分布的函數的分布證明），此結論可推廣到n個正態分布。

因此，只需求X-3Y的期望方差就可知道具體服從什麼正態分布了。

E(X-3Y)=E(X)-3E(Y)=-2，D(X-3Y)=D(X)+9D(Y)=29，X-3Y~N(-2,29) 擴展資料： 正態分布常見的理由： 通常情況下，一個事物的影響因素都是多個，比如每個人的身高，受到多個因素的影響，例如：

1、父母的身高；

2、家裡面的飲食習慣；

3、每天是否運動，每天做了什麼運動； 等等。 每一個因素,每天的行為,就像剛才拋硬幣一樣,這些因素要不對身高產生正面影響,要不對身高產生負面影響,最終讓整體身高接近正態分布。