一階微分方程通解公式y=Ce^(-∫P(x)dx)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程，Q(x)稱為自由項。一階指的是方程中關於Y的導數是一階導數。另外一階微分方程中的線性指的是方程簡化後的每一項關於y、y'的指數為1。階線性微分方程的求解一般採用常數變易法，通過常數變易法，可求出一階線性微分方程的通解。通解中的C為常數，由函數的初始條件決定。

舉例說明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³

(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]

y/(x-2)=(x-2)² C (C是積分常數)

y=(x-2)³ C(x-2)

∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是積分常數)。

擴展資料：

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程，Q(x)稱為自由項。一階，指的是方程中關於Y的導數是一階導數。線性，指的是方程簡化後的每一項關於y、y'的次數為0或1。

對於一階非齊次線性微分方程：

其對應齊次方程:

解為：

令C=u(x)，得:

帶入原方程得：

對u’(x)積分得u(x)並帶入得其通解形式為：

其中C為常數，由函數的初始條件決定。

注意到，上式右端第一項是對應的齊線性方程式（式2）的通解，第二項是非齊線性方程式（式1）的一個特解。由此可知，一階非齊線性方程的通解等於對應的齊線性方程的通解與非齊線性方程的一個特解之和。