設f(x)=arctanx……①，實際上就是要找到函數①的原函數，對①的原函數求導就等於函數①。求函數①的原函數就是對函數①進行積分即可。

求積分，∫arctanxdx……②

利用分部積分的方法進行積分。分部積分的公式由來，

(uv)'=uv'+vu'

uv'=(uv)'-vu'

∫uv'dx=uv-∫vu'dx

設②式中的

u=arctan x，dv=dx

udv=arctanxdx ，du=dx/(1+x²)

v=x，vdu=/(1+x²)

則：

∫arctanxdx=uv-∫vu'dx

=x*arctan x-∫xdx/(1+x²)

=x*arctan x-1/2*(1+x²)+C

對函數F(x)=x*arctan x-1/2*(1+x²)+C求導，就等於arctanxdx。

arctanx的導數為1/（1+x²）

解：令y=arctanx，則x=tany。

對x=tany這個方程“=”的兩邊同時對x求導，則

（x）'=（tany）'

1=sec²y*（y）'，則

（y）'=1/sec²y

又tany=x，則sec²y=1+tan²y=1+x²

得，（y）'=1/（1+x²）

即arctanx的導數為1/（1+x²）。

1、導數的四則運算（u與v都是關於x的函數）

（1）（u±v）'=u'±v'

（2）（u*v）'=u'*v+u*v'

（3）（u/v）'=（u'*v-u*v'）/v²

2、導數的基本公式

C'=0（C為常數）、（x^n）'=nx^(n-1)、（sinx）'=cosx、（cosx）'=-sinx、（tanx）'=sec²x、（secx）'=tanxsecx

3、函數可導的條件：

如果一個函數的定義域為全體實數，即函數在其上都有定義。函數在定義域中一點可導需要一定的條件：函數在該點的左右導數存在且相等，不能證明這點導數存在。只有左右導數存在且相等，並且在該點連續，才能證明該點可導。

可導的函數一定連續；連續的函數不一定可導，不連續的函數一定不可導。