lim(x趨向正無窮)sinx這個極限並不存在。因為我們考慮當x從0增加到2π時，sinx從0變化到1又從1減小到0再減小到一1，又從一1增大到1，如此反復變化，當x趨向+∞時sinx並不會無限接近某一常數。

sinx/x等於0。

依據：有界函數乘以無窮小為無窮小。

無窮小在極限趨於無窮時為0。

一、有界函數：

有界函數是設f(x)是區間E上的函數，若對於任意的x屬於E，存在常數m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱f(x)是區間E上的有界函數。

其中m稱為f(x)在區間E上的下界，M稱為f(x)在區間E上的上界。

有界函數並不一定是連續的。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。

由ƒ (x)=sinx所定義的函數f:R→R是有界的。當x越來越接近-1或1時，函數的值就變得越來越大。

舉例：

由ƒ (x)=sinx所定義的函數f:R→R是有界的。

注：如果正弦函數是定義在所有複數的集合上，則不再是有界的。 函數 （x不等於-1或1）是無界的。當x越來越接近-1或1時，函數的值就變得越來越大。但是，如果把函數的定義域限制為[2, ∞).，則函數就是有界的。

二、無窮小：

無窮小量是數學分析中的一個概念，在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常它以函數、序列等形式出現。無窮小量即以數0為極限的變量，無限接近於0。

確切地說，當自變量x無限接近x0（或x的絕對值無限增大）時，函數值f(x)與0無限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量。特別要指出的是，切不可把很小的數與無窮小量混為一談。

極限lim（x趨近於0+）時x的sinx次方的極限求法如下：

設y=x^sinx

lny=sinx*lnx

=lnx/(1/sinx)

利用洛必達法則

=(1/x)/(-cosx/sin^x)

=-sin^x/xcosx

=2sinxcosx/(cosx-xsinx)

把x=0代入

=0

所以lny的極限是0

因此y趨於1

所以X的SINX次方的極限是1

擴展資料：

洛必達法則的注意事項：

求極限是高等數學中最重要的內容之一，也是高等數學的基礎部分，因此熟練掌握求極限的方法對學好高等數學具有重要的意義。洛比達法則用於求分子分母同趨於零的分式極限

。

1、在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足構型，否則濫用洛必達法則會出錯。當不存在時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。

2、若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止。

3、洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等。

4、洛必達法則常用於求不定式極限。基本的不定式極限形式的極限則可以通過相應的變換轉換成上述兩種基本的不定式形式來求解。