y=sinx（x∈[-π/2，π/2]）的時候有反函數。

y=sinx（x∈R）是不可能有反函數的，因為不同的x可以對應相同的y值。所以不可能有反函數。

但是如果只是截取這個函數的一段單調區間，例如y=sinx（x∈[-π/2，π/2]）那麼就有反函數了。這個反函數就是反正弦函數y=arcsinx（x∈[-1，1]）

當然如果截取其他的單調區間，例如x∈[π/2，3π/2]，那麼也是有反函數的。不過這些反函數就不能稱為反正弦函數了。

擴展資料：

定理：嚴格單調函數必定有嚴格單調的反函數，並且二者單調性相同。

在證明這個定理之前先介紹函數的嚴格單調性。

設y=f(x)的定義域為D，值域為f(D)。如果對D中任意兩點x1和x2，當x1<x2時，有y1<y2，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞增；當x1y2，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞減。

證明：設f在D上嚴格單增，對任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由於f的嚴格單增性，對D中任一x'<x，都有y'x，都有y''>y。總之能使f(x)=y的x只有一個，根據反函數的定義，f存在反函數f-1。

任取f(D)中的兩點y1和y2，設y1<y2。而因為f存在反函數f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此時x1≥x2，根據f的嚴格單增性，有y1≥y2，這和我們假設的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即當y1<y2時，有f-1(y1)<f-1(y2)。這就證明了反函數f-1也是嚴格單增的。

如果f在D上嚴格單減，證明類似

sinx的反函數為：y=arcsinx或siny=x（x∈[-1,1]）。

一般來說，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f⁻¹(y) 。反函數x=f⁻¹(y)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數。

擴展資料：

反函數的性質：

（1）函數存在反函數的充要條件是，函數的定義域與值域是一一映射；

（2）一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致；

（3）大部分偶函數不存在反函數（當函數y=f(x)， 定義域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常數），則函數f(x)是偶函數且有反函數，其反函數的定義域是{C}，值域為{0} ）。奇函數不一定存在反函數，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數。若一個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數

反正弦函數。反正弦函數（反三角函數之一）為正弦函數y=sinx（x∈［-½π，½π］）的反函數，記作y=arcsinx或siny=x（x∈［-1，1]）。

反三角函數是一種基本初等函數。它是反正弦arcsinx，反餘弦arccosx，反正切arctanx，反餘切arccotx，反正割arcsecx，反餘割arccscx這些函數的統稱，各自表示其正弦、餘弦、正切、餘切，正割，餘割為x的角。

反三角函數的分類：

1、反正弦函數

正弦函數y=sinx在［-π／2，π／2]上的反函數，叫做反正弦函數。記作arcsinx，表示一個正弦值為x的角，該角的範圍在［-π／2，π／2]區間內。定義域［-1，1]，值域［-π／2，π／2]。

2、反餘弦函數

餘弦函數y=cosx在［0，π］上的反函數，叫做反餘弦函數。記作arccosx，表示一個餘弦值為x的角，該角的範圍在［0，π］區間內。定義域［-1，1]，值域［0，π］。

3、反正切函數

正切函數y=tanx在（－π／2，π／2）上的反函數，叫做反正切函數。記作arctanx，表示一個正切值為x的角，該角的範圍在（－π／2，π／2）區間內。定義域R，值域（－π／2，π／2）。

4、反餘切函數

餘切函數y=cotx在（0，π）上的反函數，叫做反餘切函數。記作arccotx，表示一個餘切值為x的角，該角的範圍在（0，π）區間內。定義域R，值域（0，π）。

5、反正割函數

正割函數y=secx在［0，π／2）U（π／2，π］上的反函數，叫做反正割函數。記作arcsecx，表示一個正割值為x的角，該角的範圍在［0，π／2）U（π／2，π］區間內。定義域（－∞，－1]U[1，＋∞），值域［0，π／2）U（π／2，π］。

6、反餘割函數

餘割函數y=cscx在［-π／2，0）U（0，π／2]上的反函數，叫做反餘割函數。記作arccscx，表示一個餘割值為x的角，該角的範圍在［-π／2，0）U（0，π／2]區間內。定義域（－∞，－1]U。

因為只有一一對應的函數才有反函數 。

因為正弦函數y=sinx在整個定義域上不是一一對應的 ，所以他在整個地域上沒有反函數 。

又因為當x∈【-π/2，π/2】時，它包含了一切正 銳角 ，y=sinx又包含了所有的函數值 ，且這個區間上，正弦函數是單調的 ，也就是y與x是一一對應的 ，所以在這個區間上，y=sinx存在著反函數 。

由y=sinx得到反函數x=arcsiny，因為習慣上用y表是函數, 用x表示自變量 ，所以，y=sinx的反函數是y=arcsinx。

顯然，反函數y=arcsinx的定義域為x∈【-1，1】，值域是y∈【-π/2，π/2】。