什麼是有界函數：

有界函數是設f(x)是區間E上的函數，若對於任意的x屬於E，存在常數m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱f(x)是區間E上的有界函數。其中m稱為f(x)在區間E上的下界，M稱為f(x)在區間E上的上界。

有界函數並不一定是連續的。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定義的函數f:R→R是有界的。當x越來越接近-1或1時，函數的值就變得越來越大。

1.閉區間的連續函數必有界

2.可積函數必有界

此處的可積函數是指函數普通的定積分，廣義積分不包括在內。

反之不成立，有界函數不一定可積。

原因如下：

可以假設這樣一個函數

f（x）=1（x是有理數的時候）；=0（x是無理數的時候）（該函數為狄利克雷函數）

那麼f（x）在x為任意實數的時候，只有1和0兩種取值，所以f（x）是有界的。

但是在任意區間內（無論是開區間還是閉區間），都有無數個有理數和無理數。所以f（x）在任意區間內有無數個間斷點，所以這個函數在任意區間內不可積。

3.可導函數一定有界

一元函數中，可導函數即能推出連續，由連續性，使用1，即可推出函數有界。

總結：

一元微積分裡面，可積<連續<可微=可導，而可積必有界，

對連續函數而言，需要在一定條件下才是有界的（如閉區間上的連續）

對於連續區域應該沒錯，這是說的一元函數吧，還需要有界。以單調增函數為例，令f(x)為定義域D(連續區域)上的有界單調增函數，在每一點x，A=sup{f(y)|y