函數連續的定義：lim(x->a)f(x)=f(a)是函數連續充要條件。

在這點函數可導是連續的充分條件，不是必要條件，例如絕對值函數f(x)=|x|在x=0處連續但不可導

1、連續性定義：若函數f(x)在x0有定義，且極限與函數值相等，則函數在x0連續

2、充分條件：若函數f(x)在x0可導或可微（或者更強的條件），則函數在x0連續

3、必要條件：若函數f(x)在x0無定義、或無極限、或極限不等於函數值，則在x0不連續

4、觀察圖像（這個不嚴謹，只適用直觀判斷）

5、記住一些基本初等函數的性質，大部分初等函數在定義域內都是連續的。

6、連續函數的性質：連續函數的加減乘，複合函數等都是連續的。

函數在定義域內只要求有意義即可，無須一定要求它在定義域內連續，如分段函數f(x)=x^2,x＞0；f(x)=3x+2，x≤0的定義域為R，但是它在定義域內的x＝0處由於左極限為2，右極限為0，f(0)=2，所以在點x＝0處卻不連續，同樣，對於取整函數而言，雖然它的定義域為R，但它在定義域內為非連續的函數

應該是初等函數在其定義區間內是連續的，定義區間是包含在定義域內的區間。

初等函數在其定義區間連續，而函數的定義區間與函數的定義域並不完全相同，因為函數的定義域有時是由一些離散的點及一些區間構成的；

對於定義域的這些孤立的點，根本談不上函數的連續問題，而只能在定義域的區間上討論連續性，這些區間，我們稱之為函數的定義區間，初等函數在其定義域的區間（即定義區間）上是連續的。

設函數f（x）在區間X上有定義，如果存在M>0，對於一切屬於區間X上的x，恆有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區間X上有界，否則稱f（x）在區間上無界。

設函數f（x）的定義域為D，區間I包含於D，如果對於區間上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恆有f（x1）<f（x2），則稱函數f（x）在區間I上是單調遞增的；

如果對於區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恆有f（x1）>f（x2），則稱函數f（x）在區間I上是單調遞減的。單調遞增和單調遞減的函數統稱為單調函數