把邊ab，邊ac分別看成向量b=(x2-x1, y2-y1, 0)和向量c=(x3-x1, y3-y1, 0)，這時先回憶一下向量叉乘：
兩個向量叉乘的結果是一個新向量，這個新向量垂直於原向量組成的平面，並且新向量的長度等於原向量合成的平行四邊形的面積。
因為向量b，向量c 在XOY平面，所以叉乘得到的向量一定落在Z軸上，設新向量d = (0 ,0 , z)，|z| 便是向量b，c 合成的平行四邊形的面積，所以平行四邊形的一半，|z|/2便是我們要求的三角形abc的面積。

有了這個思路，直接套上向量叉乘公式：

行列式的運算就不具體展示了，結果得：
向量d = (0, 0, (x2 - x1) * (y3-y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1))。
根據上文，三角形abc的面積為|z|/2，即：
S = 1/2 * |(x2 - x1) * (y3-y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1)|。

向量三角形面積公式：|axb|/2。兩個向量a，b為邊的三角形，向量的叉乘的絕對值=|a||b|sin是三角形面積兩倍，|axb|/2就是三角形面積。

在數學中，向量指具有大小和方向的量。可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。

向量積：數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。

向量積可以被定義為：

模長：（在這裡θ表示兩向量之間的夾角（共起點的前提下）（0°≤θ≤180°），它位於這兩個矢量所定義的平面上。）

向量積的模（長度）在數值上等於，，及其夾角θ組成的平行四邊形的面積。所以求三角形ABC的面積，根據向量積的意義，可得三角形ABC的面積S：

a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,為了幫助記憶，利用三階行列式，寫成：

其中i，j，k是三個相互垂直的單位向量。它們剛好可以構成一個座標系。

這三個向量的特例就是i=（1，0，0），j=（0，1，0），k=（0，0，1）。

即：

tips：空間向量(x,y,z)，其中x,y,z分別是三軸上的坐標，模長是

即：

因為是二維三角形，所以az，bz=0，