三邊垂直平分線的交點是三角形的外心,也就是外接圓的圓心,它到三角形三個頂點的距離相等.證明：設三角形為ABC,三條垂直平分線的交點為O.因為O在AB的垂直平分線上,因此OA=OB,同理,因為O在BC的垂直平分線,因此OB=OC,所以OA=OB=OC.到三角形三邊距離相等的點是三角形的內心,它是三條角平分線的交點。

方法1：

三角形ABC中,AC、AB上的高為BE和CF。

顯然三角形ABE相似於三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC

(1)

過A作三角形ABC的高AD，分別交BE，CF，AB於O1，O2，D。

由三角形AFO2相似於三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD

(2)

由三角形AEO1相似於三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD

(3)

根據等式(1)(2)(3)有

AO1*AD＝AO2*AD,

所以AO1=AO2,O1、O2重合，記重合點為O點，則O點均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三條高交於一點O。

方法2：

三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交於O點，連接並延長AO交BC於D，只需證AD為高即可。

因為角BEC，角CFB均為直角，所以B、C、F、E四點共圓，記為圓BCFE，

由切割線定理知:AF*AB

=

AE*AC

(4)

分別記直角三角形BOF,COE的外接圓為圓BOF，圓COE，

下面只需證明角BDA＝90度即可，

反證：若角BDA小於90度，則角CDA大於90度，因BO，CO分別為圓BOF，圓COE的直徑，所以點D在圓BOF外，在圓COE內，由切割線定理推論

AO*AD>AF*AB

（點D在圓BOF外）

AO*AD<AE*AC

（點D在圓COE內）

結合(4),得出矛盾，故角BDA不小於90度。

同理可證角BDA也不大於90度。

故角BDA＝90度。即AD為高。