費馬大定理的巧妙證明是由費馬提出的，它的證明方法是：

1. 假設存在一個正整數n，使得n不能被任何一個小於n的正整數整除；

2. 將n寫成兩個正整數的乘積，即n=ab；

3. 如果a或b小於n，則a或b必然可以被n整除，這與假設矛盾；

4. 因此，a和b必須大於n，這就證明了費馬大定理。

費馬大定理的證明方法：

x+y=z有無窮多組整數解，稱為一個三元組；x^2+y^2=z^2也有無窮多組整數解，這個結論在畢達哥拉斯時代就被他的學生證明，稱為畢達哥拉斯三元組，我們華人稱他們為勾股數。但x^3+y^3=z^3卻始終沒找到整數解。

最接近的是：6^3+8^3=9^-1，還是差了1。于是迄今為止最偉大的業餘數學家費馬提出了猜想：總的來說，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。因此，就有了：

已知：a^2+b^2=c^2

令c=b+k，k=1.2.3……，則a^2+b^2=(b+k)^2。

因為，整數c必然要比a與b都要大，而且至少要大於1，所以k=1.2.3……

設：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；

則a^2+b^2=c^2就可以寫成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……

當n=1時，d+h=p，d、h與p可以是任意整數。

當n=2時，a=d，b=h，c=p，則d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。

當n≥3時，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n。

因為，a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；要想保證d、h、p為整數，就必須保證a、b、c必須都是完全平方數。

a、b、c必須是整數的平方，才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中為整數。

假若d、h、p不能在公式中同時以整數的形式存在的話，則費馬大定理成立。