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1 # 無為輕狂
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2 # 夏169614851
設A是數域上的一個n階方陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E。 則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。
注：E為單位矩陣。
二、定義
一個n階方陣A稱為可逆的，或非奇異的，如果存在一個n階方陣B，使得AB=BA=E.
並稱B是A的一個逆矩陣。不可逆的矩陣稱為非奇異矩陣。A的逆矩陣記作A-1。
三、性質
1、可逆矩陣一定是方陣。
2、（唯一性）如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。
3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。
4、可逆矩陣A的轉置矩陣AT也可逆，並且（AT）-1=（A-1）T (轉置的逆等於逆的轉置）
5、若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。
6、兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。
7、矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。
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3 # 舊顏
矩陣可逆是指一個矩陣擁有對應逆矩陣的情況。
在線性代數中，給定一個n階方陣A，若存在一n階方陣B使得AB=BA=E（或AB=E、BA=E任滿足一個），其中E為n階單位矩陣，則稱A是可逆的，且B是A的逆陣，記作A^(-1)。
若方陣A的逆陣存在，則稱A為非奇異方陣或可逆方陣。
矩陣可逆的充分必要條件：
AB=E；
A為滿秩矩陣（即r(A)=n）；
A的特徵值全不為0；
A的行列式|A|≠0，也可表述為A不是奇異矩陣（即行列式為0的矩陣）；
A等價於n階單位矩陣；
A可表示成初等矩陣的乘積；
齊次線性方程組AX=0 僅有零解；
非齊次線性方程組AX=b 有唯一解；
A的行（列）向量組線性無關；
任一n維向量可由A的行（列）向量組線性表示。
其實以上條件全部是等價的。
與A可交換的矩陣是3階方陣，設B＝(bij)與A可交換，則AB＝BA，比較兩邊對應元素得：b11＝b22＝b33，b12＝b23，b21＝b31＝b32＝0，所以與A可交換的矩陣是如下形式的矩陣：
a b c
0 a b
0 0 a
其中a，b，c是任意實數
擴展資料
下面是可交換矩陣的充分條件：
(1) 設A ， B 至少有一個為零矩陣，則A ， B 可交換;
(2) 設A ， B 至少有一個為單位矩陣， 則A ， B可交換;
(3) 設A ， B 至少有一個為數量矩陣， 則A ， B可交換;
(4) 設A ， B 均為對角矩陣，則A ， B 可交換;
(5) 設A ， B 均為準對角矩陣（準對角矩陣是分塊矩陣概念下的一種矩陣。即除去主對角線上分塊矩陣不為零矩陣外，其餘分塊矩陣均為零矩陣），且對角線上的子塊均可交換，則A ， B 可交換;
(6) 設A*是A 的伴隨矩陣，則A*與A可交換;
(7) 設A可逆，則A 與其逆矩陣可交換;
注：A的逆矩陣經過數乘變換所得到的矩陣也可以與A進行交換。