tan0的極限原式=lim(x->π/4){e^[tan(2x)*ln(tanx)]} =lim(x->π/4){e^[ln(tanx)/cot(2x)]} =e^{lim(x->π/4)[ln(tanx)/cot(2x)]}

=e^{lim(x->π/4)[(ln(tanx))'/(cot(2x))']}(0/0型極限，應用羅比達法則) =e^{lim(x->π/4)[(sec2x/tanx)/(-2csc2(2x))]}(分子分母分別求導數) =e^[(2/1)/(-2*1)] =e^(-1) =1/e。

另一種解法： 原式=lim(x->π/4){[(1+tanx-1)^(1/(tanx-1))]^[(tanx-1)tan(2x)]}

=e^{lim(x->π/4)[(tanx-1)tan(2x)]}(應用重要極限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e) =e^{lim(x->π/4)[(tanx-1)(2tanx/(1-tan2x))]}(應用正弦倍角公式) =e^{lim(x->π/4)[(tanx-1)*2tanx/((1-tanx)(1+tanx))]} =e^{lim(x->π/4)[(-2tanx/(1+tanx)]} =e^[-2*1/(1+1)] =e^(-1) =1/e。

極限首先應該考慮的是自變量的變化過程，第二，要理解極限時一個確定的常數，是一個數。

三角函數公式：

公式一 、公式二：

sin（2kπ+α）=sin αcos（2kπ+α）=cos αtan（2kπ+α）=tan αcot（2kπ+α）=cot αsec（2kπ+α）=sec αcsc（2kπ+α）=csc α sin（π+α）=-sin αcos（π+α）=-cos αtan（π+α）=tan αcot（π+α）=cot αsec（π+α）=-sec αcsc（π+α）=-csc α。

公式三、公式四：

sin（-α）=-sin αcos（-α）=cos αtan（-α）=-tan αcot（-α）=-cot αsec（-α）=sec αcsc（-α）=-csc α sin（π-α）=sin αcos（π-α）=-cos αtan（π-α）=-tan αcot（π-α）=-cot αsec（π-α）=-sec αcsc（π-α）=csc α。

公式五、公式六：

sin（α-π）=-sin αcos（α-π）=-cos αtan（α-π）=tan αcot（α-π）=cot αsec（α-π）=-sec αcsc（α-π）=-csc α sin（2π-α）=-sin αcos（2π-α）=cos αtan（2π-α）=-tan αcot（2π-α）=-cot αsec（2π-α）=sec αcsc（2π-α）=-csc α。