平面向量坐標運算公式：

若向量a＝（x，y）向量b＝（m，n）

1）a·b＝xm＋yn

2）a＋b＝（x＋m，y＋n）

平面向量是在二維平面內既有方向又有大小的量，物理學中也稱作矢量，與之相對的是只有大小、沒有方向的數量。平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。

零向量：長度等於0的向量叫做零向量，記作0。

相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量。

單位向量：模等於1個單位長度的向量叫做單位向量，通常用e表示。

相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

向量的加法

1、向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x',y+y').

a+0=0+a=a.

2、向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a;

結合律：(a+b)+c=a+(b+c).

向量的減法

如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即“共同起點,指向被減”

a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

向量的的數量積

1、定義：已知兩個非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量,記作a•b.若a、b不共線,則a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共線,則a•b=+-∣a∣∣b∣.

2、向量的數量積的坐標表示：a•b=x•x'+y•y'.

3、向量的數量積的運算律

a•b=b•a(交換律);

(λa)•b=λ(a•b)(關於數乘法的結合律);

(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);

4、向量的數量積的性質

a•a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a•b=0.

|a•b|≤|a|•|b|.

5、向量的數量積與實數運算的主要不同點

（1）向量的數量積不滿足結合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.

（2）向量的數量積不滿足消去律,即：由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.

（3）|a•b|≠|a|•|b|

（4）由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

數乘向量

1、實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.

當λ>0時,λa與a同方向;

當λ<0時,λa與a反方向;

當λ=0時,λa=0,方向任意.

當a=0時,對於任意實數λ,都有λa=0.

注：按定義知,如果λa=0,那麼λ=0或a=0.

實數λ叫做向量a的係數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.

當∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;

當∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍.

2、數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).

向量對於數的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

數對於向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ.

向量的向量積

1、定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系.若a、b共線,則a×b=0.

2、向量的向量積性質：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.

a×a=0.

a‖b〈=〉a×b=0.

3、向量的向量積運算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

① 當且僅當a、b反向時,左邊取等號;

② 當且僅當a、b同向時,右邊取等號.

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

① 當且僅當a、b同向時,左邊取等號;

② 當且僅當a、b反向時,右邊取等號.

定比分點

定比分點公式(向量P1P=λ•向量PP2)

設P1、P2是直線上的兩點,P是l上不同於P1、P2的任意一點.則存在一個實數 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比.

若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分點坐標公式)

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

其他公式

1、三點共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線

2、三角形重心判斷式

在△ABC中,若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

3、向量共線的重要條件

若b≠0,則a//b的重要條件是存在唯一實數λ,使a=λb.

a//b的重要條件是 xy'-x'y=0.

4、零向量0平行於任何向量.

5、向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 a•b=0.

a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0.

6、零向量0垂直於任何向量.