概念

與多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓.

特殊地,與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓,圓心叫做三角形的內心,三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內心是三角形三條角平分線的交點.

三角形一定有內切圓,其他的圖形不一定有內切圓,且內切圓圓心定在三角形內部.

2性質

在三角形中,三個角的角平分線的交點是內切圓的圓心,圓心到三角形各個邊的垂線段相等.

常見輔助線：過圓心作垂直

3計算

1)對於一般的三角形,內切圓半徑公式如下：

r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]【sqrt為開平方根（square root）】

2)在直角三角形的內切圓中,有這樣兩個簡便公式：

1、兩直角邊相加的和減去斜邊後除以2,得數是內切圓的半徑：

r=(a+b-c)/2（注：s是Rt△的面積,a,b是Rt△的2個直角邊,c是斜邊）

2、兩直角邊乘積除以直角三角形周長,得數是內切圓的半徑：

r=ab/ (a+b+c)

4補充

扇形內切圓

與扇形⌒AOB的圓弧⌒AB及兩條半徑OA,OB都相切的圓叫扇形的內切圓 .

內切圓圓心O′在扇形的圓心角AOB的角平分線上,

OO′=R-r(R是扇形半徑,r是內切圓半徑)

過O′作O′A⊥OA,垂足A,直角三角形OAO′中

∠O′OA=30°,O′A=r,OO′=R-r,

∴r=(R-r)*sin30°,r=1/2(R-r),R=3r

內切圓面積=πr^2,

扇形面積是原來圓面積的60/360=1/6

∴扇形面積=πR^2/6=π(3r)^2/6=3πr^2/2

∴扇形的內切圓面積與扇形面積的比為πr^2:(3πr^2/2)=2:3

直角三角形的內切圓的半徑=二分之一×（直角邊+另一直角邊－斜邊）

內切圓的半徑為r=2S÷C,當中S表示三角形的面積,C表示三角形的周長.

內切圓等於外切圓的2分之1

面積與原正方形比為π：4

高中數學中的內切圓半徑公式為，內切圓半徑r = Δ/S，其中Δ為三角形的面積，S為三角形的半周長。也可以用r=abcd/2S(a+b+c+d)表示，其中a、b、c、d為四邊形的對角線長，S為四邊形的半周長。這是高中數學的基礎知識，需要掌握。