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1 # 勇往直前的葡萄7d
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2 # 杯沿的咖啡
任何定義域為R的函數都可以表示為一個奇函數與一個偶函數之和，這個命題是正確的。
設f（x），x∈R是任意函數，則
F（x）＝1／2〈f（x）＋f（一x）〉，
G（x）＝1／2〈f（x）一f（一x）〉，則容易驗證
F（一x）＝F（x），G（一x）＝一G（x）
即F（x）是R上的偶函數，G（x）是R上的奇函數，而
f（x）＝F（x）十G（x）
說明任意R上的函數都可表成一個奇函數和一個偶函數之和。
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3 # ᝰ安之若素ᝰ
證明：假設定義域為R的函數f（x)可以表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數h(x)的和∴
∴f(x)=g(x)+h(x).............①
f(-x)=g(-x)+h(-x)
又g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)
∴f(-x)=-g(x)+h(x).........②
由①②知,h(x)=[f(x)+f(-x)]/2,g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
檢驗：h(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=h(x)
g(x)=[f(-x)-f(x)]/2=-g(-x)
∴定義域為R的函數f（x)都可以表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數h(x)的和
,且h(x)=[f(x)+f(-x)]/2,g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
可以，而且這樣的函數只能是0函數，也就是y＝0（定義域沒有特別要求，只要關於原點對稱即可，可以是R，一段區間，甚至可以是孤立的對稱點）
稍作證明，f（x）是奇函數，則f（x）+f（-x）＝0，又它是偶函數，則f（-x）等於f（x），于是2f（x）等於0，只好f（x）等於0，附加上定義域關於原點對稱即可