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1 # 奈我何6068
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2 # yokgs4700
首先求點(x,y)處曲線的切向量.用隱函數求導可知(x,y)處的切向量可取為(5y⁴,-3x²).由此得到平面上一個光滑向量場, 取與之正交的向量場(3x²,5y⁴).設正交曲線參數方程為r(t) = (x(t),y(t)).然後求解微分方程組: x'(t) = 3x(t)², y'(t) = 5y(t)⁴.解得x(t) = -1/(3t+A), y(t) = -1/³√(15t+B), 其中A, B是由初值給出的常數.最後消去t, -5/x(t)-5A = -1/y(t)³-B, 得到方程5y³-x = Cxy³.隨C的變動給出一族正交曲線.注意方程還有兩個特解, x(t) = 0, y(t) = -1/³√(15t+B)與x(t) = -1/(3t+A), y(t) = 0.分別對應y軸和x軸兩條曲線.因此完全的曲線族為: 5y³-x = Cxy³和x = 0和y = 0.解法中正交向量場的取法不唯一, (6x²,10y⁴), (3x³,5xy⁴)等都可以.微分方程雖然不同, 但對應的曲線相同, 只是參數化的方法不同.對於更復雜的曲線族, 微分方程可能不好解, 或者解出來後也無法消去t.
可以考慮一般情況，在正交曲線座標系中的散度公式。
首先，你要記住哈密頓算子▽ 他表示一個矢量算子（注意）：
▽≡i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz
運算規則:
一、▽A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)A=i*dA/dx+j*dA/dy+k*dA/dz
這樣標量場A通過▽的這個運算就形成了一個矢量場,該矢量場反應了標量場A的分布。
這就是梯度!是個矢量!
二、▽·A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)·(Ax*i+Ay*j+Az*k)=dAx/dx+dAy/dy+dAz/dz
這個是散度!是個標量!
三、▽×A=(dAz/dy-dAy/dz)*i+(dAx/dz-dAz/dx)*j+(dAy/dx-dAx/dy)*k。
這個是旋度!是個矢量!由此可見：數量（標量）場的梯度與矢量場的散度和旋度可表示為：
gradA=▽A,divA=▽·A,rotA=▽×A。