規範場論（Gauge Theory）是基於對稱變換可以局部也可以全局地施行這一思想的一類物理理論。非交換對稱群（又稱非阿貝爾群）的規範場論最常見的例子為楊-米爾斯理論。物理系統往往用在某種變換下不變的拉格朗日量表述，當變換在每一時空點同時施行，它們有全局對稱性。規範場論推廣了這一思想，它要求拉格朗日量必須也有局部對稱性—應該可以在時空的特定區域施行這些對稱變換而不影響到另外一個區域。這個要求是廣義相對論的等效原理的一個推廣

阿貝爾群的群運算符合交換律，因此阿貝爾群也被稱為交換群。它由自身的集合G和二元運算

*

構成。它除了滿足一般的群公理，即運算的結合律、G有單位元、所有G的元素都有逆元之外，還滿足交換律公理

a*b=b*a.

。

因為阿貝爾群的群運算滿足交換律和結合律，群元素乘積的值與乘法運算時的次序無關。而群運算不滿足交換律的群被稱為“非阿貝爾群”，或“非交換群”。

阿貝爾群是一種數學結構，它由一個集合和一個二元運算組成。這個二元運算滿足結合律、交換律、存在單位元素和逆元素。簡單來說，阿貝爾群就是一個滿足加法運算的集合，其中加法運算滿足交換律和其他一些性質。
阿貝爾群的特點有三個：
1. 交換律：阿貝爾群的加法運算滿足交換律，也就是說，a+b=b+a。
2. 存在單位元素：阿貝爾群中存在一個元素0，使得對於任意元素a，a+0=a。
3. 存在逆元素：阿貝爾群中每個元素都有一個逆元素，使得a+(-a)=0。
阿貝爾群在數學中有廣泛的應用，例如在代數學、幾何學、物理學等領域中都有重要的作用。

阿貝爾群也稱為交換群或可交換群，它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序（交換律公理）的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼爾斯·阿貝爾命名。阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被透底地研究了。

無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域