1、相似的定義為：對n階方陣A、B，若存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B，則稱A、B相似。

2、從定義出發，最簡單的充要條件即是：對於給定的A、B，能夠找到這樣的一個P，使得：

P^(-1)AP=B；或者：能夠找到一個矩陣C，使得A和B均相似於C。

3、進一步地，如果A、B均可相似對角化，則他們相似的充要條件為：A、B具有相同的特徵值。

4、再進一步，如果A、B均為實對稱矩陣，則它們必可相似對角化，可以直接計算特徵值加以判斷（與2情況不同的是：2情況必須首先判斷A、B可否相似對角化）。

5、以上為線性代數涉及到的知識，而如果你也學過矩陣論，那麼A、B相似的等價條件還有：

設：A、B均為n階方陣，則以下命題等價：

(1)A~B;

(2)λE-A≌λE-B

(3)λE-A與λE-B有相同的各階行列式因子

(4)λE-A與λE-B有相同的各階不變因子

(5)λE-A與λE-B有相同的初等因子組

兩個矩陣相似性質有：

1、反身性：任何矩陣都與它本身相似。

2、對稱性：如果 A和 B相似，那麼 B就和 A相似。

3、傳遞性：如果 A和 B相似， B和 C相似，那麼 A也和 C相似。

如果 n階矩陣 A類似於 B，則 A和 B的特徵多項式是一樣的，因此 A和 B的本徵值是相同的。n階矩陣 A和對角矩陣類似(A可對角化)的充要條件是 A具有 n個線性無關的特徵向量。



矩陣之間的相似關系：

設K是L的一個子域， A和B是係數K中的矩陣，那麼A和B在K上類似，只當它們在 L上相似。這一性質非常有用：在判定兩個矩陣相似性的情況下，任意擴展該係數域到一個代數封閉域，然後求出若爾當標準形。若相似矩陣 A與 B之間的轉換矩陣 P為置換矩陣，則稱 A與 B “置換相似”。

若相似矩陣 A與 B之間的轉換矩陣 P為酉矩陣，則稱 A與 b “酉相似”。譜論證明了每一個正規矩陣都酉都與某些對角陣是相似的。

相似則特徵多項式相同,特徵值相同,行列式相等,跡相等,秩相等合同則秩相等兩者不能互推但在可對角化前提下,相似必合同