最為常用的幾何變換都是線性變換，這包括旋轉、縮放、切變、反射以及正投影。在二維空間中，線性變換可以用 2×2 的變換矩陣表示。

旋轉：繞原點逆時針旋轉 θ 度角的變換公式是x' =xcosθ +ysinθ 與y' =-xsinθ +ycosθ，用矩陣表示為：

縮放：縮放公式用矩陣表示為：

切變：切變有兩種可能的形式，平行於x軸的切變為x' =x+ky與y' =y，矩陣表示為：

平行於y軸的切變為x' =x與y' =y+kx，矩陣表示為：

反射：為了沿經過原點的直線反射向量，假設 (ux,uy) 為直線方向的單位向量。變換矩陣為：

按照不經過原點的直線的反射是仿射變換，而不是線性變換。

正投影：為了將向量正投影到一條經過原點的直線，假設 (ux,uy) 是直線方向的單位向量，變換矩陣為：

同反射一樣，正投影到一條不經過原點的直線的變換是仿射變換，而不是線性變換。

平行投影也是線性變換，也可以用矩陣表示。但是透視投影不是線性變換，必須用齊次坐標表示

設：是任何維的一般旋轉矩陣。 兩個向量的點積在它們都被一個旋轉矩陣操作之後保持不變。從而得出旋轉矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣。這裡的是單位矩陣。? 一個矩陣是旋轉矩陣，當且僅當它是正交矩陣並且它的行列式是單位一。 正交矩陣的行列式是±1； 如果行列式是?1，則它包含了一個反射而不是真旋轉矩陣。旋轉矩陣是正交矩陣，如果它的列向量形成的一個正交基，就是說在任何兩個列向量之間的標量積是零(正交性)而每個列向量的大小是單位一(單位向量)。? 任何旋轉向量可以表示為斜對稱矩陣A的指數:這裡的指數是以泰勒級數定義的而是以矩陣乘法定義的。 A矩陣叫做旋轉的“生成元”。旋轉矩陣的李代數是它的生成元的代數，它就是斜對稱矩陣的代數。生成元可以通過M的矩陣對數來找到。? 編輯本段的二維空間，在二維空間中，旋轉可以用一個單一的角θ定義。 作為約定，正角表示逆時針旋轉。 把笛卡爾坐標的列向量關於原點逆時針旋轉θ的矩陣是:　　cosθ-sinθ。sinθcosθ。 編輯本段三維空間，在三維空間中，旋轉矩陣有一個等於單位一的實特徵值。 旋轉矩陣指定關於對應的特徵向量的旋轉(歐拉旋轉定理)。 如果旋轉角是θ，則旋轉矩陣的另外兩個(複數)特徵值是exp(iθ)和exp(-iθ)。 從而得出3維旋轉的跡數等於1+2cos(θ)，這可用來快速的計算任何3維旋轉的旋轉角。　　 3維旋轉矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因為只需要三個實數來指定3維斜對稱矩陣，得出只用三個是實數就可以指定一個3維旋轉矩陣。　　 生成旋轉矩陣的一種簡單方式是把它作為三個基本旋轉的序列複合。 關於右手笛卡爾座標系的x-,y-和z-軸的旋轉分別叫做roll,pitch和yaw旋轉。因為這些旋轉被表達為關於一個軸的旋轉，它們的生成元很容易表達。 繞x-軸的旋轉定義為:這裡的θx是roll角。? 繞y-軸的旋轉定義為:這裡的θy是pitch角。 繞z-軸的旋轉定義為:這裡的θz是yaw角。　　 在飛行動力學中，roll,pitch和yaw角通常分別採用符號γ,α,和β；但是為了避免混淆於歐拉角這裡使用符號θx,θy和θz。　　 任何3維旋轉矩陣都可以用這三個角θx,θy,和θz來刻畫，並且可以表示為roll,pitch和yaw矩陣的乘積是在中的旋轉矩陣在中所有旋轉的集合，加上覆合運算形成了旋轉群SO(3)。這裡討論的矩陣接著提供了這個群的群表示。 更高維的情況可參見Givens旋轉。? 角-軸表示和四元數表示　　 在三維中，旋轉可以通過單一的旋轉角θ和所圍繞的單位向量方向來定義。　　 這個旋轉可以簡單的以生成元來表達:在運算於向量r上的時候，這等價於Rodrigues旋轉公式：角-軸表示密切關聯於四元數表示。 依據軸和角，四元數可以給出為正規化四元數Q:這裡的i,j和k是Q的三個虛部。? 歐拉角表示：在三維空間中，旋轉可以通過三個歐拉角(α,β,γ)來定義。 有一些可能的歐拉角定義，每個都可以依據roll,pitch和yaw的複合來表達。依據"z-x-z"歐拉角，在右手笛卡爾坐標中的旋轉矩陣可表達為:進行乘法運算生成。 因為這個旋轉矩陣不可以表達為關於一個單一軸的旋轉，它的生成元不能像上面例子那樣簡單表達出來。 對稱保持SVD表示：對旋轉軸q和旋轉角θ，旋轉矩陣　　這裡的的縱列張開正交於q的空間而G是θ度Givens旋轉。 【旋轉矩陣】 旋轉矩陣（Rotationmatrix）是在乘以一個向量的時候改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉矩陣不包括反演，它不可以把右手座標系改變成左手座標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。對於3D座標系，任意兩個座標系卻不能等價。實際上，存在兩種完全不同的3D座標系：左手座標系和右手座標系。如果同屬於左手座標系或者右手座標系，則可以通過旋轉來重合，否則不