.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於(0，c)

6.拋物線與x軸交點個數

Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c為常數，且a≠0),適用於任給三點坐標求二次函數解析式問題.

例1:若二次函數的圖象經過點A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函數的解析式.

解：設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c,

列出三元方程組：

3=a+b+c

-2=4a+2b+C,

1=a-b+c

解得：a=-2

b=1.

c=4

:.二次函數的解析式為y=-2x2+x+4.

二、頂點式：y=a(x-h)2+k[二次函數的頂點為（h、k),a為常數，且a≠0],適用於給出頂點及另外一點坐標求二次函數解析式問題.

例2:二次函數的頂點的坐標為（2,5),且過點（1,3),求二次函數的解析式.

解：設二次函數的解析式為y=a(x-2)2+5,

3=a(1-2)2+5,

解得：a=-2.

:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.

:.二次函數的解析式為y=-2x2+8x-3

三、雙根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函數過點A(x1,0),B(x2,0),a為常數，且a≠0】，適用於給出與x軸兩交點及另外一點坐標求二次函數解析式問題.

例3:拋物線與x軸交於A(-1,0)、B(3,0),且經過C(1,4),求拋物線的解析式.

解：設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),

4=a(1+1)(1-3),

解得：a=-1

:.二次函數的解析式為y=-x2+2x+3

四、對稱式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函數過點A(x1,0),B(x2,0),a為常數，且a≠0】,適用於給出縱坐標相同的兩個點及另外一點坐標求二次函數解析式問題.

例4:拋物線經過點A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求拋物線的解析式.

解：設二次函數的解析式為y=a(x-2)(x-0)+3,

4=a(1-2)(1-0)+3,

解得：a=-1

:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3

:.二次函數的解析式為y=-x2+2x+3