數學上，三角形三條邊的垂直平分線的交點，也就是它的外接圓（三個頂點都在同一個圓周上的圓）的圓心，被稱作三角形的“外心”。當然，一個人的心思、說活、行為所圍繞的“中心點”已經改變時，可能也被稱作有了“外心”。外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即三角形外接圓的圓心。三角形的外心。

垂心是三角形三條高的交點

內心是三角形三條內角平分線的交點 即內接圓的圓心

重心是三角形三條中線的交點

外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點 即外接圓的圓心

旁心,是三角形兩條外角平分線和一條內角平分線的交點

正三角形中,中心和重心,垂心,內心,外心重合!

垂心定理：三角形的三條高交於一點。該點叫做三角形的垂心

內心定理：三角形的三內角平分線交於一點。該點叫做三角形的內心。

旁心定理：三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點。該點叫做三角形的旁心。三角形有三個旁心。

重心定理：三角形的三條中線交於一點，這點到頂點的

離是它到對邊中點距離的2倍。該點叫做三角形的重心。

外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交於一點。該點叫做三角形的外心。

三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心。三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊垂直平分線的交點，三角形的三個頂點就在這個外接圓上

如下圖:l、m分別為線段AB、AC的中垂線

∴AF=BF=CF

∴BC中垂線必過點F

一、三角形的內心和內心的性質

1、“內心”是三角形的角平分線交點，也是三角形的內切圓的圓心。

2、內心性質

（1）三角形的任一個頂點和它的內心的連線必定平分這個角。

（2）內心到三角形三條邊的距離相等，而且都等於這個三角形的內切圓的半徑長。

（3）設一個三角形ABC的內心為“O”，內切圓半徑為r，三條邊長分別為a、b、c，則三角形ABC的面積S=(1/2)x(a+b+c)xr。即三角形的面積等於三角形周長與其內切圓半徑乘積的一半。



三角形的內切圓和“內心”

二、三角形的外心和外心的性質

1、“外心”是三角形的垂直平分線的交點，也是三角形外接圓的圓心。

【注】垂直平分線也叫“中垂線”。

2、外心性質

（1）三角形的任意一條邊的中點和外心的連線必定在這條邊的垂直平線上，所以也必定垂直平分這條邊。

（2）外心到三角形三個頂點的距離相等，而且都等於這個三角形的外接圓的半徑長。

三、三角形的重心和重心的性質

1、“重心”是三角形中線的交點。

2、重心性質（高頻考點）

（1）三角形頂點與重心的連線必定在三角形的一條中線上。

（2）延長三角形的一個頂點與重心的連線，使得交於這個頂點的對邊上一點，則這個交點為邊上的中點。

（2）三角形的重心把三角形的任意一條中線分成兩條線段，其中重心到三角形頂點的線段長是另一條線段長的2倍。

【注】三角形的三條中線長不一定相等，但在任何一條中線上，重心到頂點的線段和重心到頂點對邊中點連線的線段長的比值都是2：1.



四、三角形的垂心和垂心的性質

1、垂心是三角形高線的交點。

2、垂心性質

（1）三角形的頂點與垂心的連線必定在三角形的一條高線上。

（2）三角形任何一個頂點和垂心的連線必定垂直於這個頂點的對邊。

五、三角形的中心和中心的性質

1、三角形的“四心”（內心、外心、重心、垂心）重合後的點稱為這個三角形的中心。只有等邊三角形才有中心。

2、中心性質

因為中心是三角形的內心、外心、重心、垂心“四心”重合後的點，所以等邊三角形的中心具有三角形內心、外心、重心、垂心所具有的全部性質。